第一章 勾股定理（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024新教材）

第一章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股树与构成直角三角形的条件 【解惑】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列条件不能够判定是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．点D是边的中点， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理判定A和D，根据勾股定理的逆定理判定B，利用直角三角形斜边中线的性质判定C． 【详解】A．，，则，故为直角三角形，此选项不符合题意； B．，即，故为直角三角形，此选项不符合题意； C．点D为中点，且，根据定理“若一边的中线等于该边的一半，则三角形为直角三角形”，可知为直角三角形，此选项不符合题意； D．，令，则，，由内角和得：，解得，则，非直角．故D不能判定为直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 2．欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 填“合格”或“不合格”． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直． 【详解】解：∵， ∴画框两边与对角线构成直角三角形， ∴画框的两边垂直； 故答案为：合格． 3．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 类型二、利用勾股定理求解 【解惑】如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 在中，，由勾股定理得 ， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴D到的距离为3， 故选：B． 2．如图，在中，，，，在斜边上有一点，且，则 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，能根据题意对点D的位置进行分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，先求出的长，进而得出的长，再对点D为位置进行分类讨论即可解答． 【详解】解：在中， ． ， ． 当点在中点处时，如图所示， ，且点为中点， ． 当点不在中点处时，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ， ． 在中， ． 在中， ． ． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 3．如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作线段的垂直平分线，根据勾股定理得，根据尺规作图的痕迹知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义即可得出答案．解题的关键是掌握基本作图． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴点是的中点， ∴， 即长为． 故答案为：． 类型三、赵爽弦图 【解惑】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用， 根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 【融会贯通】 1．将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 2．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理，进而得到，最后求小正方形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：4． 3．第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 类型四、勾股树问题 【解惑】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故选：B． 2．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到，，即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理可知，，，， ， ， ， 故答案为：． 3．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的样子，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 类型五、勾股定理的证明 【解惑】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【融会贯通】 1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 【答案】 【分析】五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：如图所示： ①， ②． 故答案为：，． 【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 类型六、勾股定理的应用——梯子滑落问题 【解惑】如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得，，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，． 故选：D． 2．如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，然后减去B距离O的距离即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即． 当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是， 故滑块滑动了． 故答案为： 3．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 类型七、勾股定理的应用——折断问题 【解惑】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：C． 【融会贯通】 1．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 2．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，再利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的值．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， ∵，， ∴， ∵两只猴子所经过的路程相等， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴这颗树高． 故答案为：． 3．如图，一棵大树在一次强台风中于距离地面10米处折断倒下，树梢落在离树根24 米处，问大树在折断前高多少米？ 【答案】大树在折断前高36米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，米，， ∴米， ∴米， 答：大树在折断前高36米． 类型八、勾股定理的应用——水中筷子问题 【解惑】如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 【融会贯通】 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 2．如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 3．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 类型九、勾股定理逆定理的应用 【解惑】如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【融会贯通】 1．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】这块地全部种草的费用是5760元． 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，   ∴， ∴是直角三角形即， ∴， ∴（元）， 答：这块地全部种草的费用是5760元． 2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析 (2)新路比原路少 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 3．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． (1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． (2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过A作于点．根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， 该三角形为直角三角形，其中13为斜边， 这块实践基地的面积为， 故答案为：30； （2）解：过A作于点． 设，则． 在和 由勾股定理得： 即：， 解得， 在中，由勾股定理得， ． 类型十、网格作图 【解惑】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上． (1)计算线段的长； (2)利用无刻度直尺，求作射线，使其平分．（要求：保留作图痕迹） 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，勾股定理，等腰三角形的三线合一定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点、，连接、交于点，连接即为所求； 【详解】（1）解：； （2）解：如图，射线即为所作， 理由：取格点、，连接、交于点， 则点是的中点， ∵， ∴平分． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)在图1中，先画的角平分线，再在上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，使，再画的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的性质与判定，三角形的高，构造等腰三角形是解题的关键； （1）构造等腰三角形（），取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，线段，点即为所求； （2）构造等腰直角三角形，交于点，与交于点，连接并延长交于点，则点，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段，点即为所求； 证明：因为等腰三角形（）， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）如图2中，点，线段即为所求． 证明：因为等腰直角三角形，则，根据三角形高交于一点，与交于点，连接并延长交于点，则点，即为所求． 2．综合探究：阅读材料，解答问题． 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是经过一次对折后（两部分完全重合）得到的图形． (1)画出一个对折前可能的图形； (2)画出边上的高，垂足为H； (3)画出一条线段，使，且； (4)若点P、点Q分别是边和上的动点，连接，求的最小值．（要画出图形） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】（1）以为对称轴作出三角形即可； （2）根据三角形高的定义画出图形； （3）根据平行线的定义画出图形； （4）取格点，连接交于点，交于点，过点作于点，此时的值最小，最小值线段的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：取格点，连接交于点，交于点，过点作于点， 根据作图， 则， 此时的值最小，最小值线段的长． ， ， ， 的值最小为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，角平分线的性质，轴对称最短问题，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (2)在图②中的边上找一点E，连接，使； (3)在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识， （1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可； （2）取格点D，连接，交于点E，则； （3）取格点E，连接，取的中点D，连接交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所作， （2）解：如图2所示，点E即为所作： 理由：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图3，点F即为所作： 理由： 由勾股定理得，， 又 ∴ 又， ∴， ∴平分， ∴点F到和所在直线的距离相等． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股树与构成直角三角形的条件 【解惑】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【融会贯通】 1．下列条件不能够判定是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．点D是边的中点， D． 2．欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 填“合格”或“不合格”． 3．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 类型二、利用勾股定理求解 【解惑】如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，，，在斜边上有一点，且，则 ． 3．如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为 ． 类型三、赵爽弦图 【解惑】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 【融会贯通】 1．将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 2．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 3．第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 类型四、勾股树问题 【解惑】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【融会贯通】 1．如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 2．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 3．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的样子，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 类型五、勾股定理的证明 【解惑】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 类型六、勾股定理的应用——梯子滑落问题 【解惑】如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 3．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 类型七、勾股定理的应用——折断问题 【解惑】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 3．如图，一棵大树在一次强台风中于距离地面10米处折断倒下，树梢落在离树根24 米处，问大树在折断前高多少米？ 类型八、勾股定理的应用——水中筷子问题 【解惑】如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 3．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 类型九、勾股定理逆定理的应用 【解惑】如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【融会贯通】 1．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 3．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． (1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． (2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 类型十、网格作图 【解惑】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上． (1)计算线段的长； (2)利用无刻度直尺，求作射线，使其平分．（要求：保留作图痕迹） 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． (1)在图1中，先画的角平分线，再在上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，使，再画的高． 2．综合探究：阅读材料，解答问题． 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是经过一次对折后（两部分完全重合）得到的图形． (1)画出一个对折前可能的图形； (2)画出边上的高，垂足为H； (3)画出一条线段，使，且； (4)若点P、点Q分别是边和上的动点，连接，求的最小值．（要画出图形） 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (2)在图②中的边上找一点E，连接，使； (3)在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$