第二章 实数（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024新教材）

第二章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数与无理数的分类 【解惑】下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般我们接触到的无理数由三种形式：以及含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数(例0.101100110001100001……)．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】A、0是整数，可以表示为分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、π是圆周率，其小数部分无限不循环，无法表示为两个整数之比，属于无理数，故本选项符合题意； D、，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．在实数，，，中无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：、等；开方开不尽的数；像这样有规律的无限不循环小数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据无理数的定义，逐个实数进行判断即可． 【详解】解：，是整数，它们不是无理数； ，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个； 故选：B． 2．实数，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数．根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：实数中，和是无理数，共2个， 故答案为：2． 3．在数中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个， 故答案为：2． 类型二、(同类、最简)二次根式的认识 【解惑】下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方的因数且不含分母，逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：，被开方数5是质数，无平方数因子，且不含分母，满足最简二次根式条件． 选项B：，16是4的平方，可化简为4，不是最简二次根式． 选项C：，1.3化为分数，分母10含非平方数因子2和5，且被开方数含分母，需有理化，不满足条件． 选项D：，分母4是平方数，可化简为，不满足条件． 综上，只有选项A是最简二次根式， 故选：A 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 3．若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 类型三、二次根式有意义或取值 【解惑】式子中，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：D． 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ； 故答案为． 3．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 类型四、求一个数的(算术)平方根与立方根 【解惑】4的算术平方根是（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键， 根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是非负数a，满足．4的算术平方根需满足且，由此确定答案． 【详解】解：4的算术平方根是2，用式子表示为， 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B． C． D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义． 平方根和算术平方根的定义，逐一分析选项． 【详解】解：A、16的平方根是，4是16的算术平方根，故A错误，不符合题意； B、表示25的算术平方根，结果为5，而非，故B错误，不符合题意； C、表示49的算术平方根的相反数，即，而非7，故C错误，不符合题意； D、是正数且满足，因此是的算术平方根，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．16的算术平方根是 ； ； ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的求解方法是解题关键．根据，，，计算算术平方根与立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是4； ； ∵， ∴； 故答案为：4，3，． 3．若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义和性质，即可得出这个数，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义和性质，知道的平方根与它的立方根相等． 【详解】解：由题意，一个数的平方根与它的立方根相等， 则这个数为：． 故答案为：． 类型五、二次根式的非负性与大小比较 【解惑】已知实数m，n满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，由非负数的性质可知，绝对值和算术平方根的和为0时，每个部分都为0，由此解出m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴ = 0， = 0， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出且，得出，再进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 得， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．比较大小： ． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：>． 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 类型六、二次根式的数轴化简 【解惑】实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据点在数轴上的位置得出，进而可得出答案． 【详解】解： 根据数轴可知：， ∴， ∴， 故选：D 【融会贯通】 1．已知对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此去绝对值和计算算术平方根，再去括号并合并同类项即可得到答案． 【详解】解；由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，则， ∴ ． 故答案为：． 3．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 类型七、程序流程图问题 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．根据以下程序，当输入时，输出的结果为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，程序框图求值，根据程序流程图计算出结果，再根比较后判断即可． 【详解】解：当时，，继续代入求值， 当时，，输出结果， ∴输出的结果为， 故选：C． 2．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出的值是； 故答案为：． 3．小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序图的运算，求算术平方根和立方根，无理数的判断，相反数的概念等知识，解题的关键是根据题意列出算式． 根据程序图将代入利用算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】当输入的x值为2时， ∴64的算术平方根为8，是有理数 ∴8的立方根为2，是有理数， ∴2的算术平方根为，是无理数 ∴输出 ∴y的相反数为． 故答案为：． 类型八、二次根式的混合运算 【解惑】化简：． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简，混合运算，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先计算除法，平方并化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式展开， 化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算即可． （2）利用平方差公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） 3．计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先根据分配律去括号，再算乘法，最后计算减法即可； （）先根据绝对值的性质和二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 类型九、平方根与立方根解方程 【解惑】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用，熟练掌握平方根与立方根的概念，对等式进行变形是解决本题的关键． （1）先两边同时除以3，再根据平方根的概念求解即可． （2）先移项，再两边同时除以2，再根据立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：方程为， 两边同时除以3可得，， 所以， 即，， 解得，． （2）解：方程为， 移项可得， 两边同时除以2可得，， 所以， 解得． 【融会贯通】 1．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，熟知平方根和立方根的定义是解答的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， ∴， 解得或； （2）解：原方程可化为， ∴， 解得． 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据立方根的定义求出的值； （2）先移项，再根据立方根的定义求出的值； （3）通过对式子进行变形，利用立方根的定义求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）利用平方根解方程即可得； （2）利用立方根解方程即可得． 【详解】（1）解： （2）解： 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为．求物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意求出时间是解题的关键． 分别将代入，将代入，求出时间比较大小即可． 【详解】解：在中，当时， ， ， 解得：（负值舍去）； 在中，当时， ， ， 解得：（负值舍去）． 【融会贯通】 1．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 2．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 3．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数与无理数的分类 【解惑】下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．π D． 【融会贯通】 1．在实数，，，中无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．实数，无理数有 个． 3．在数中，无理数共有 个． 类型二、(同类、最简)二次根式的认识 【解惑】下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 3．若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 类型三、二次根式有意义或取值 【解惑】式子中，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 3．当时，二次根式的值是 ． 类型四、求一个数的(算术)平方根与立方根 【解惑】4的算术平方根是（　　） A． B． C． D．2 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B． C． D．的算术平方根是 2．16的算术平方根是 ； ； ． 3．若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是 ． 类型五、二次根式的非负性与大小比较 【解惑】已知实数m，n满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 【融会贯通】 1．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： ． 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 类型六、二次根式的数轴化简 【解惑】实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（    ） A． B．0 C． D． 2．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 类型七、程序流程图问题 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．根据以下程序，当输入时，输出的结果为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值是64时，输出的值是 ． 3．小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 类型八、二次根式的混合运算 【解惑】化简：． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3). 类型九、平方根与立方根解方程 【解惑】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．求x的值： (1)； (2)． 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 3．求下列各式中的： (1)； (2)． 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为．求物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ 【融会贯通】 1．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 2．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 3．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$