3 二次根式 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024新教材）

3 二次根式 一、二次根式 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。在二次根式中，被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子。 二、最简二次根式 最简二次根式必须同时满足下列条件：被开方数中不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含根式。 三、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 四、二次根式的性质 1.非负性：二次根式是一个非负数。此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。 2.算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替；可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外。 五、二次根式的运算 1.加法与减法：同类二次根式可以直接进行加减运算。先将二次根式化为最简形式，然后合并同类二次根式。 2.乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 3.除法：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 4.乘方：二次根式乘方，把被开方数乘方，根指数与被开方数的指数相乘。 六、分母有理化 在二次根式的运算中，经常需要将分母有理化。分母有理化有两种方法：一是利用平方差公式，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2；二是利用同分母的分式加减法的法则，即分母不变，分子相加减。 七、二次根式的应用 二次根式在实际问题中有广泛的应用，如面积问题、勾股定理等。在解决这类问题时，需要先根据实际情况建立数学模型，然后利用二次根式的性质进行求解。 巩固课内例1:二次根式的直接乘除运算 1．值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握根式的运算法则． 2．计算： ． 【答案】12 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． 巩固课内例2:二次根式的公式结合乘除运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式的应用． 先将原式变形，再根据平方差公式计算即可． 【详解】 故选：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键． （1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 巩固课内例3:化简二次根式——直接化简 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 2．化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算解答即可； （2）运用二次根式的乘法运算解题； （3）运用二次根式的除法法则运算解答； （4）运用二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 巩固课内例4:化简二次根式——间接化简 1．计算并化简的结果为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根． 根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质化简． （1）根据二次根式的性质即可化解求解； （2）根据二次根式的性质即可化解求解； （3）根据二次根式的性质即可化解求解； （4）根据二次根式的性质即可化解求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 巩固课内例5:二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性。 【详解】A. ，二次根式加法不能直接合并，错误，故本选项不符合题意； B. ，系数相减但未保留根号，结果应为，错误，故本选项不符合题意； C. ，符合二次根式乘法法则，正确，故本选项符合题意； D. ，算术平方根非负，结果应为而非，错误，故本选项不符合题意； 故选：C。 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先去括号，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法则计算即可； （2）利用二次根式的运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例6:二次根式的加减乘除混合运算 1．计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用平方差公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的乘法进行计算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减计算； （2）先利用二次根式的乘法、完全平方公式化简，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 3．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 类型二、同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．同类二次根式需满足化简后被开方数相同．将各选项化简后，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除； 选项B：，被开方数为5，与同类； 选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除； 选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除； 故选B． 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟知同类二次根式的概念是解题的关键； 题目已知两个二次根式是最简二次根式，故只需使两个二次根式的被开方数相同即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：3. 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 类型三、二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 2．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 3．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 类型一、二次根式的乘法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式乘法计算，零指数幂，先计算二次根式乘法和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 类型二、二次根式的除法 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 依据二次根式的运算法则，对每个选项逐一进行分析，验证各选项的正确性． 【详解】A．中，，故，错误，该选项不符合题意； B．，但结果应为非负数，错误，该选项不符合题意； C．，错误，该选项不符合题意； D．，正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 类型三、二次根式的加法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】A、，故该选项正确； B、和不是同类二次根式，不能进行加减运算，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行二次根式的乘法计算，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再进行加法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型四、二次根式的减法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再进行减法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、二次根式的字母化简 1．已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据二次根式的性质化简，根据二次根式的性质，结合已知条件化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故选：C． 2．当时，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 3．已知，其中． (1)化简P． (2)若点在一次函数的图象上，求P的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、一次函数图象的性质等知识点，灵活运用二次根式的性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质求解即可； （2）根据一次函数的性质得出，再代入（1）中的化简结果求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵点（a，b）在一次函数的图象上， ∴，即． 由（1）知， ∴． 类型六、二次根式的数轴化简 1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 2．已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．根据数轴上得到的a，b的大小去绝对值，然后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，， 则，， ． 3．利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到的值； （2）仿照（1）的作法，取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形，解答即可． （3）请仿照方法化简解答即可． 本题考查了勾股定理，分母有理化，无理数的作图，熟练掌握勾股定理，分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到； 故答案为：． （2）解：取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形， 以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，于数轴交于点C， 如图：    则点C即为所求． （3）解：， 故 ． 类型七、估算二次根式 1．估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 2．若，请估算t更接近于哪个整数 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算，先根据二次根式的乘法运算法则算出，结合进行无理数的估算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴估算t更接近于0 故答案为：0 3．小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； (1)请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； (2)试把小亮的方法推广到一般情况： 已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． (3)请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 【答案】(1)7.21 (2) (3)9.22 【分析】（1）结合题述方法估计的近似值即可； （2）结合小亮的方法既可用关于，的代数式近似地表示的公式； （3）结合（2）所得公式即可估计． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（2）知：，，所以，即， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的乘除法，解决本题的关键是理解阅读材料． 类型一、二次根式的应用 1．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：A． 2．按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式运算法则，是解题的关键．根据A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为，求出长即可． 【详解】解：∵A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为， ∴纸的长为． 故答案为：． 3．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积． 【答案】(1)3； (2)剩余木料为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知大正方形的边长； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 类型二、网格中的二次根式 1．如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的减法； 根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 2．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的减法运算，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∵， ∴； 故答案为：． 3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，二次根式的运算，负整数指数幂． （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； （3）根据得到，，代入，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴． 类型三、分母有理化 1．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 2．计算： ． 【答案】45 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 3．将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ∴ ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3 二次根式 一、二次根式 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。在二次根式中，被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子。 二、最简二次根式 最简二次根式必须同时满足下列条件：被开方数中不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含根式。 三、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 四、二次根式的性质 1.非负性：二次根式是一个非负数。此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。 2.算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替；可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外。 五、二次根式的运算 1.加法与减法：同类二次根式可以直接进行加减运算。先将二次根式化为最简形式，然后合并同类二次根式。 2.乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 3.除法：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 4.乘方：二次根式乘方，把被开方数乘方，根指数与被开方数的指数相乘。 六、分母有理化 在二次根式的运算中，经常需要将分母有理化。分母有理化有两种方法：一是利用平方差公式，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2；二是利用同分母的分式加减法的法则，即分母不变，分子相加减。 七、二次根式的应用 二次根式在实际问题中有广泛的应用，如面积问题、勾股定理等。在解决这类问题时，需要先根据实际情况建立数学模型，然后利用二次根式的性质进行求解。 巩固课内例1:二次根式的直接乘除运算 1．值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例2:二次根式的公式结合乘除运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例3:化简二次根式——直接化简 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是 ，化简的结果是 ． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例4:化简二次根式——间接化简 1．计算并化简的结果为（   ） A． B． C．4 D． 2．化简： ． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例5:二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例6:二次根式的加减乘除混合运算 1．计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 2．计算：的结果是 ． 3．计算下列各小题． (1)； (2)． 类型一、最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 3．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 类型二、同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 类型三、二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．当时，二次根式的值为 ． 3．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 类型一、二次根式的乘法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D．6 2． ． 3．计算：． 类型二、二次根式的除法 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型三、二次根式的加法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型四、二次根式的减法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； 类型五、二次根式的字母化简 1．已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．当时，化简： 3．已知，其中． (1)化简P． (2)若点在一次函数的图象上，求P的值． 类型六、二次根式的数轴化简 1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 2．已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简 ． 3．利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 类型七、估算二次根式 1．估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．若，请估算t更接近于哪个整数 ． 3．小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； (1)请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； (2)试把小亮的方法推广到一般情况： 已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． (3)请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 类型一、二次根式的应用 1．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B． C．6 D．12 2．按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 3．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积． 类型二、网格中的二次根式 1．如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则的长为 ． 3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 类型三、分母有理化 1．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算： ． 3．将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$