第1章直线与方程（复习课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第1章直线与方程 苏教版2019选修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)． 单元学习目标 单元知识图谱 1.直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则____就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_______与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________. x轴正向 向上 0°≤α<180° 考点串讲 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝________. 正切值 tan α 考点串讲 名称 方程 适用范围 点斜式 ______________ 不含直线x＝x0 斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ___________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ___________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 4.直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 考点串讲 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 ______________ ____________________________ 垂直 v1⊥v2 ___________ ______________ 相交 v1与v2不共线 ________ ______________ 5.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝ ，l4的法向量v2＝ 的位置关系如下表： (A1，B1) (A2，B2) k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1 k1≠k2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 A1A2＋B1B2＝0 A1B2－A2B1≠0 考点串讲 6.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝____________________. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝_________. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_______. 考点串讲 常用技巧或结论 1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： 1.“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 考点串讲 常用技巧或结论 2.直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R). (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 考点串讲 考点串讲 k1＝k2 k1k2＝－1 考点串讲 考点、两直线的交点、平面上的距离 1.［课标全国Ⅲ文2020·8，5分］点到直线 距离的最大值为( ) B A.1 B. C. D.2 解析 点到直线的距离 . 当时，；当时， ， 当且仅当，即 时等号成立. 综上，点到直线距离的最大值为 .故选B. 考点串讲 2.［上海春季高考2020·7,5分］已知直线，， 若，则与 的距离为____. 解析 直线， ， 当时，，解得 . 当时，与 重合，不满足题意； 当时，，此时， . 则与的距离为 . 考点、两直线的交点、平面上的距离 考点串讲 15 3.［山东济南2024模拟］已知直线（其中为实数） 过定点 ，点在函数的图象上，则, 连线的斜率的取值范围是__________. 考点、两直线的交点、平面上的距离 解析 已知直线， 即 ， 由解得故定点的坐标为 . 设点，，， 则,连线的斜率为 ， 故,连线的斜率的取值范围为 . 考点串讲 16 题型一、与直线有关的对称问题 1.已知点与关于坐标原点对称，则 ( ) B A.5 B.1 C. D. 解析 由点与关于坐标原点对称，得,, 即, ，所以 .故选B. 规律方法：点关于点对称 点关于点对称后得到点 ，则由中点坐标公式得 题型剖析 2.［北京铁二中2025高二期中］点与点 的对称中心是( ) C A. B. C. D. 解析 因为点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为 ，故选C. 点拨：点关于点对称的本质是中点问题. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 18 3.［福建厦门一中2025高二期中］若点关于直线的对称点在轴上， 则, 满足的条件为( ) B A. B. C. D. 解析 因为点关于直线的对称点在轴上， 所以设点关于直线 的对称点为 ， 则有 则整理得 .故选B. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 19 4.［重庆巴蜀中学2025高二月考］若点关于直线 的 对称点为，则 ( ) D A. B. C.3 D.5 解析 由题知直线的斜率为，直线为线段的垂直平分线， 从而.又线段 的中点在直线 上， 则，解得 .故选D. 规律方法：求解点关于直线的对称点 的基本方法 （1）与的连线与直线垂直，即 ； （2）线段的中点在直线上，即 ； （3）与到直线的距离相等，即 . 上述三个等量关系中任选两个联立方程组，即可求得对称点 的坐标. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 20 5.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后， 目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根 据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹将目标球成功击入 袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点 反弹后，经 过点，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 解析 点关于直线对称的点为， 直线的方程为 ，即 ， 由得 点的坐标为 .故选B. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 21 二级结论 点关于轴的对称点为 ； 点关于轴的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 ； 点关于直线的对称点为 . 题型剖析 22 6.［黑龙江哈师大附中2024高二月考］将一张坐标纸折叠一次，使得点与 点 重合，点与点重合，则 ___. 1 解析 记点为点，点为点，所以线段的中点为 . 记点为点，点为点，所以线段的中点为 ， 由题意可知， ， 则解得 则 . 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 23 7.［山西省实验中学2025高二段考］如图，已知点，，从点 射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点 ， 则光线所经过的路程是_____. 解析 由题知直线的方程为，即， 如图，设点关于直线 的对称点为 ， 则解得 即.又点关于轴的对称点为 ， 所以由光的反射规律以及几何关系可知， 光线所经过的路程是 . 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 24 8.直线关于点 对称的直线的方程为( ) B A. B. C. D. 解析 设直线关于点对称的直线上任意一点， 则 关于对称的点为， 又因为在直线 上， 所以，即 .故选B. 多种解法 设直线关于点对称的直线的方程为 , 所以，所以，所以（舍） 即直线 关于点 对称的直线的方程为 .故选B. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 25 9.［河北邢台一中2025高二月考］已知直线与直线 关于点 对称，则实数 的值为( ) A A.2 B.6 C. D. 解析 由于直线与直线关于点 对称， 所以两直线平行，故，则. 由于点在直线上，关于点的对称点为 ， 故点在直线上，代入可得，故 ，故选A. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 26 10.［江苏启东2025高二月考］已知直线与直线关于直线 对称，则 的方程为( ) A A. B. C. D. 解析 方法一：在直线的方程中以代替，以代替 即得到直线 关于直线对称的直线的方程， 则直线的方程为 .故选A. 方法二：在直线上取一点， 点关于直线 对称的点为. 直线与直线的交点为， 所以直线的方程即为直线 的方程，为， 化简得 .故选A. 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 27 二级结论 与直线关于轴对称的直线的方程为 ； 与直线关于轴对称的直线的方程为 ； 与直线关于直线对称的直线的方程为 ； 与直线关于直线对称的直线的方程为 . 规律方法 求直线关于直线与相交对称的直线 方法一：在已知直线上任取一点（不为交点），然后得到关于的对称点，再结合与 的交点 求解 的方程； 方法二：当与 斜率均存在时,利用两条相交直线的到角与夹角公式求解， ①直线到的角 （方向角），，当时， . ②直线与的夹角 ，，当时， . 题型剖析 28 11.［广西百色2025高二期末］已知直线，, 若直线与关于 对称，则 的方程为_______________. 解析 联立解得 所以三条直线的交点为,在上取点，设点关于的对称点为 ,则 解得故 . 依题意，点关于的对称点在上，由两点式得的方程为 ， 化简得 . 题型一、与直线有关的对称问题 题型剖析 29 题型二、与直线有关的最值问题 1.直线与直线交于点，是实数，为坐标 原点，则 的最大值是( ) B A.2 B. C. D.4 解析 因为与的交点坐标为 , 所以， 当时，，所以 的最大值是 ，故选B. 题型剖析 2.［四川成都2024高二月考］已知点，，点在线段 （含端点）上移动，则 的最小值为___. 5 解析 的几何意义为点与点的距离， 由图形可得， 两点的距离最短，则所求最小值为 . 题型二、与直线有关的最值问题 题型剖析 31 3.［江苏南通启东中学2025高二开学考］已知点在直线上运动， 点 ，，则 的最大值为( ) A A. B.2 C. D.1 解析 设点关于直线的对称点为 ， 则有解得 即,从而， 当且仅当,, 三点共线时等号成立，所以的最大值为 .故选A. 题型二、与直线有关的最值问题 题型剖析 32 4.［黑龙江鸡西一中2025高二期中］数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.” 事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数 问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 的最小值是( ) C A. B.4 C. D. 解析 表示动点到定点和 的距离之和， 因为点在直线 上运动， 作关于直线的对称点，则 ， 故 ， 当且仅当,,三点共线时取等号，故的最小值是 .故选C. 题型二、与直线有关的最值问题 题型剖析 33 5.（多选）［江西抚州一中2024高二月考］2023年动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐 诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻、 想象力最丰富、艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日 登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在 白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最 短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为 ，河岸线所在直线 的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短，则( ) BD A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D.“将军饮马”走过的总路程为 题型二、与直线有关的最值问题 题型剖析 34 解析 由题可知点,在直线 的同侧， 设点关于直线的对称点为 ，如图所示. 则解得即 .要使将军走过的总路程最短,则将军从出发点到河 边的路线所在直线即为直线 . 因为，所以直线的方程为,即 ，故A错误. 题型剖析 35 设将军在河边饮马的地点为，则即为直线与 的交点，联立两直 线方程解得, ，故B正确. 将军从河边回军营的路线所在直线为直线，又，所以直线 的方程为 ,即 ，故C错误. 总路程 ， 所以“将军饮马”走过的总路程为，故D正确.故选 . 题型剖析 6.过定点的直线与过定点的直线 交于点 与，不重合，则 面积的最大值为( ) C A. B. C.2 D.4 解析 动直线化为，可得定点 ， 动直线化为，可得定点 . 因为，所以直线 与直线 垂直，为交点，所以 ,所以 . 则 ， 当且仅当时，等号成立.故 面积的最大值为2.故选C. 题型二、与直线有关的最值问题 题型剖析 37 1.设直线，.若与平行， 则 的值为( ) B A. B.0或 C. D. 解析 ， 解得或 ，故选B. 针对训练 38 2.已知点，点在直线上.若直线垂直于直线 ，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 解析 利用排除法.由点在直线上,排除A,B.由 ,排除D.故选C. 3.［湖北黄冈2025高二期中］已知点,，若， 则直线 的倾斜角的取值范围为( ) B A. B. C. D. 解析 由题设知，则直线 的倾斜角的取值范围为 .故选B. 针对训练 39 4.已知直线,.若直线与关于对称，则 的方程是 ( ) C A. B. C. D. 解析 若直线与关于对称，则直线，的交点在直线 上， 由解得 . 在直线上任取一点，点关于直线对称的点为，则点在直线 上， 由,两点可知，直线的斜率，则直线的方程为 ， 即 .故选C. 针对训练 40 5.已知点，，若直线与线段有公共点，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 解析 由题意知直线过定点 ，易求直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率 ， 作出线段及直线,，如图，由图知，或， 即或 ,故选C. 针对训练 41 6.［江苏宿迁2024阶段测试］在等腰直角三角形中，，点 是边 上异于，的一点，一光线从点出发经，反射后又回到点.若光线 经 过的重心，则 的周长为( ) A A. B. C. D. 解析 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ，所以直线的方程为 . 设，点关于直线的对称点为， 点关于 轴的对称点为，易得， . 易知直线就是 所在的直线，所以直线的方程为 . 设的重心为，则 ，所以， 即，所以（舍去）或 ，所以， . 结合对称关系可知， ， 所以的周长即为线段的长度，为 .故选A. 针对训练 42 7.［江苏南京六校2025高二期末联考］设为实数，直线 的方程为 ， 则下列说法正确的是( ) AC A.当变化时，直线恒过定点 B.若，则直线在轴、 轴上的截距之和为4 C.若，则直线 的斜率为1 D.当时，点关于直线的对称点坐标为 解析 对于A，直线的方程 可化为 ，由解得所以直线恒过定点 ，A正确； 对于B，当时，直线，令，则，令，则，此时直线 在轴、轴上的截距之和为 ，B错误； 对于C，由B选项可知直线，故直线 的斜率为1，C正确； 对于D，当时，直线，设关于直线 的对称点的坐标为 ，则解得,，即点关于直线 的对称点的坐标为 ，D错误.故选 . 针对训练 43 8.［江苏盐城2025高二月考］已知直线恒过点，为坐标原点， 则点 的坐标为______;当点到直线的距离最大时，直线 的方程为_______________. 解析 由，得 ， 令解得所以直线恒过定点 . 当点到直线的距离最大时，直线与垂直， 因为，所以直线的斜率 ， 所以其方程为，即 . 针对训练 44 9.［江苏南京2024高二期中］已知 为实数，直线 . （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点 的坐标； 【解析】因为直线 ， 所以对任意 恒成立， 则由解得从而直线过定点 . （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求 的方程. [解析] 由题意设 . 因为直线过点，所以，直线与两坐标轴的正半轴的截距之和为 ， 所以，当且仅当 ， 即， 时等号成立， 所以直线的方程为，即 . 针对训练 45 10.［江苏南通2025高二期末］已知点, ,直线 . （1）若直线与线段有交点，直接写出 的取值范围； 【解析】由题意有直线的方程为，当时，直线的方程为 ， 此时直线与平行，无交点；当时，联立 得直线与的交点的坐标为，当交点在线段上时， ，即 ，解得，所以或 . 故的取值范围为 . 针对训练 46 （2）若,设与直线及轴分别交于,两点，求 面积的最小值. [解析] 因为，直线，联立得出 . 令中，则 ， 所以,因为，，，所以 在第一 象限且在直线右侧，在直线 左侧， 所以的面积 ， 设，，此时，所以当 ,即 时， 有最小值，且最小值为4. 针对训练 47 常见题型及应对策略​ 求直线的倾斜角和斜率：根据定义或斜率公式计算，注意倾斜角的范围和斜率不存在的情况。​ 求直线方程：根据已知条件，灵活选择方程形式，代入计算后化为一般式。​ 判断两条直线的位置关系：按照平行和垂直的判定条件进行判断，注意特殊情况。​ 求距离：直接运用距离公式，注意公式的条件和计算的准确性。​ 易错点提醒​ 忽略倾斜角的范围，导致计算错误。​ 运用直线方程的某种形式时，未考虑其适用范围，如用点斜式时忽略直线垂直于 x 轴的情况。​ 计算两条平行直线间的距离时，未将直线方程化为一般式且 x、y 的系数对应相等。​ 课堂总结 感谢聆听!    ＝(x1≠x2，y1≠y2) ＋＝1 常见误区 1．求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．斜率公式k＝(x1≠x2)与两点的顺序无关，且两点的横坐标不相等． 3．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 4．两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 _________ k1与k2都不存在 垂直 ____________ k1与k2一个为零、另一个不存在 $$