专题02 集合运用和问题求解（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题02 集合的应用和问题求解（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断集合子集或真子集的个数 1 题型二、根据集合相等关系求参数 1 题型三、根据集合的包含关系求参数 2 题型四、集合的运算:交并补集 2 题型五、Venn图与容斥原理的应用 3 题型六、集合新定义 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断集合子集或真子集的个数 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．集合，写出A的真子集． 3．已知集合，则集合A真子集个数为 （填数字） 4．已知集合，那么集合的所有子集为(    )． A．， B． C．，， D．，，， 题型二、根据集合相等关系求参数 5．已知集合，集合，若，则______． 6．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 7．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 题型三、根据集合的包含关系求参数 9．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 10．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 12．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 题型四、集合的运算:交并补集 13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 14．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 15．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 题型五、Venn图与容斥原理的应用 17．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}． （1）求图中阴影部分表示的集合C； （2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 18．（24-25高二下·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 19．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    20．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 题型六、集合新定义 21．集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 22．若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 23．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 24．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 6.已知集合,，且，求实数的值. 7. 已知集合，若A中至多只有一个元素，求a取值范围. 8．（2019·云南曲靖·一模）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的值． 9（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1) 当时，求； (2) 若，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·重庆长寿·期末）（1）已知集合，，求，； （2）若集合，，若，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 12．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合的应用和问题求解（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断集合子集或真子集的个数 1 题型二、根据集合相等关系求参数 2 题型三、根据集合的包含关系求参数 3 题型四、集合的运算:交并补集 5 题型五、Venn图与容斥原理的应用 7 题型六、集合新定义 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断集合子集或真子集的个数 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 2．集合，写出A的真子集． 【答案】∅、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}． 【详解】因为–1<x<3，且x∈Z，故x=0，1，2，即A={x|–1<x<3，x∈Z}={0，1，2}． ∴A的真子集有：∅、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个． 3．已知集合，则集合A真子集个数为 （填数字） 【答案】511 【详解】由题意， 有9个元素，故集合A真子集的个数为： 故答案为：511 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题 4．已知集合，那么集合的所有子集为(    )． A．， B． C．，， D．，，， 【答案】D 【详解】由题意得，集合的子集有，，，． 故选：D． 题型二、根据集合相等关系求参数 5．已知集合，集合，若，则______． 【答案】 【详解】∵，∴，， 则，，， 与元素互异性矛盾，舍去，∴． ∴． 故答案为： 6．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 7．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 8．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 题型三、根据集合的包含关系求参数 9．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 10．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 11．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 12．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 题型四、集合的运算:交并补集 13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【答案】(1)，，． (2)或 【详解】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 14．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则， 解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 15．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 题型五、Venn图与容斥原理的应用 17．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}． （1）求图中阴影部分表示的集合C； （2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3} 【详解】（1）根据题意，分析可得：C=A∩（∁UB）， B={x|2＜x＜4}，则∁UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}， 则C=A∩（∁UB）={x|1≤x≤2}； （2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．则A∪B={x|1≤x＜4}， 若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B）， 则有，解可得2＜a≤3， 即实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}． 18．（24-25高二下·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【答案】8 【详解】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因， 故对这两项运动都不喜爱的人数为. 故答案为：8. 19．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 20．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 题型六、集合新定义 21．集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 【答案】 【详解】， ， 则，， . 故答案为：；. 22．若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 23．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 24．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 6.已知集合,，且，求实数的值. 【答案】或. 【详解】解：解方程得或，故 因为， 所以当时，； 当时，， 所以，解得 所以实数的值为或 7. 已知集合，若A中至多只有一个元素，求a取值范围. 【答案】或 【详解】当时，，符合题意； 当时，若集合A中至多只有一个元素， 则方程无实数根或有两个相等实根，所以即； 所以a取值范围为或. 8．（2019·云南曲靖·一模）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1). (2)m=或1. （2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解. 【详解】（1）由，知． ①当时，，解得； ②当时，有，解得． 所以实数m的取值范围为． （2）因为，，，且，则 ①当时，有，解得， 则，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 9（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 10．（24-25高一上·重庆长寿·期末）（1）已知集合，，求，； （2）若集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）或 【详解】（1）由题可得：，， . . （2）， ①当时，，解得：； ②当，，解得：， 综上所述：或. 11．（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 12．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$