2.1认识实数（第1课时）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 2.1 认识实数 （第1课时） 第二章 实数 章节导读 实数 2.1 认识实数 2.2 平方根与立方根 无理数 平方根 立方根 二次根式 算术平方根 平方根 立方根 无限不循环小数 实数 2.3 二次根数 二次根式的乘除 最简二次根式 二次根式的混合运算 2.1.1学 习 目 标（P25-P26） 1 2 3 理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征； 经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想； 在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识。 情景引入 毕达哥拉斯学派是古希腊一个集宗教、哲学、数学和政治为一体的神秘组织。他们发展并坚信一个核心教义： “万物皆整数比”：更具体地说，他们认为宇宙中一切可度量的事物之间的关系（比例），都可以用两个整数的比（即分数）来表示。 这个发现对毕达哥拉斯学派来说是颠覆性的、灾难性的； 结果希帕索斯被学派的其他成员扔进了大海淹死，作为对“亵渎神明”的惩罚； 他们认为这个发现动摇了学派的根基，必须被掩盖！ 希帕索斯是学派的重要成员，他巧妙地证明了： 无法表示为任何两个整数的比！ 为什么会引发如此大的震动？它为什么不能写成整数比（分数）？ 的秘密. 温故知新 (1)什么是有理数? 通过以上问题，猜测一下：什么是无限不循环小数？它的是不是有理数？ 整数和分数统称为有理数 (2)有理数包括哪些小数形式? (3)理数一定都是分数和整数吗？无限循环小数属于整数还是分数？ 有理数一定都是整数和分数；所有的无限循环小数都可以表示为分数 有限小数和无限循环小数 ※问题1 如何将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形？ 新知探究 探究1.非有理数的引入 可以将这两个正方形沿着对角线平分，再将得到的四个三角形拼成一个大正方形. S1 S1 (1)假设大正方形的边长为a，则a满足什么条件? a满足= (2)a可能是整数或分数吗？请说明理由. 不可能，1²=1<2<2²=2 ※迁移验证 根据问题1的结论，请你分析以下问题： 新知探究 探究1.非有理数的引入 既不是整数，也不是分数→ 非有理数！ (1)如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？ 正方形的面积等于5 (2)直角三角形的斜边b满足什么条件？ ==5 (3)b是整数或分数吗？ b不是整数也不是分数 1、在数 1.414，0.333⋯，​，中： （1）属于整数的是： （2）属于分数的是： （3）既非整数也非分数的是： 2、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ ） A. 99​ B. π C. 0.1010010001⋯0.1010010001⋯（每两个1之间增加一个0） D. − E. 1.414 即时训练 非有理数的引入 1.414，0.333⋯， BC 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 ※问题2 面积为2的正方形，其边长a为多少？ (1)图中面积为2的正方形面积的范围是怎样的？ 1 < 2 < 4 (2)由此可以推测它的边长a范围是多少？ 1 <a< 2 由此可以发现，a是一个小数，那么它的小数部分是怎样的呢？这需要我们确定该数的十分位、百分位、千分位... 探究 找出数a的十分位、百分位、千分位… 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分 （1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方： =_____（计算结果），与2比较： _____ 2； 1.96 < =________，与2比较：_______2 2.25 > 结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是____ 4 （2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方： =________，与2比较： ____ 2； =________，与2比较： ______ 2; 结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是_______。 1.9881 < 2.0164 > 1 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 用以上方法继续计算下去，得到边长和面积的范围如图.结合刚才的计算过程，回答下列问题： （1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？ 还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环 （2）a是整数吗？是分数吗？为什么？ a不是整数（1 < a < 2），也不是分数（分数的平方不可能是2） 综上可得，像a这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。 通过上面的活动，我们发现了一种新的数 新知探究 归纳总结 无限不循环小数： 具体为小数部分无限且没有循环节的数 该类小数，不能表示为分数，因此不是有理数 例题讲解 无限不循环小数的概念 1、 下列数中，与属于同一类（无限不循环小数）的是（ ） A. B. C. ​ D. 2、如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？ h不可能是有理数，理由如下： 证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一” 所以BD=CD 在直角三角形ABD中，根据勾股定理： =+ 代入边长AB=2，BD=1， 得：=+ 化简得： 4=+1  ⟹ =3  ⟹  h= 是无限不循环小数，因此等边三角形的高不可能是有理数 B 知识补充： 若一个数的平方是整数且非完全平方数（如3，5，7等），则该数是无限不循环小数 问题 同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？说明你的理由. 拓展提升 解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度 因此，对角线长度是边长的 倍 假设存在整数 （边长）和整数 （对角线），使得 因为是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数 所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数 方法补充：用“反证法思路”分析整数可能性 ①假设结论成立：假设存在整数边长和整数对角线，则有 ​ ②推导矛盾：由于​是无理数，故等式右边​为无理数，而左边为整数（有理数），“无理数=有理数”矛盾，故假设不成立。 应用新知 1. 已知 π 是无限不循环小数，则 是（ ） (A) 整数 (B) 分数 (C) 有理数 (D) 无限不循环小数 D 2. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的数不是有理数。 （ ） × × × √ 应用新知 3. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数 L3，L4的长度分别为，，不是有理数 类型一. 应用勾股定理和方程思想求边长 题型总结 1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ ） (A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14 (C) 0.333... （D）0.35353535… 2.下列各数中，不是有理数的是（ ） （A） （B） （C） （D）0.123456 A C 题型总结 类型二：无限不循环小数的在几何中的应用 1.大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1， 求大三角形的高h； 解：如图，分别给两个正三角形作高，已知小正方形边长为1，设其高为h1 在正三角形中，满足“三线合一”的性质， 故三角形的高将正三角形分为两个完全一样的含30°的直角三角形， 故h1=1=； 因为两个三角形的面积比为2：1，所以它们的高的比为：1，所以大三角形的高h== 真题感知 1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（ ） B. 0.1 2˙ C. π D. 2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<<b，则a+b= 3.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（ ） A.1+ B. C. D. C 3 D 1. 基础必做题：课后习题1； 2. 开放探究题：习题2.1 第4题； 作业布置 课堂小结 本节课学习内容梳理： 感谢聆听! $$