第1章一元二次方程 自主检测试卷【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1章 一元二次方程自主检测试卷 （满分：100分 时间：60分钟） 一．选择题（每小题4分，共28分） 1．（2024秋•东台市月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 2．（2024秋•南京期中）若关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1 3．（2024春•怀宁县期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 5．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 6．（2025•龙马潭区一模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2，且2，则k的值是（　　） A．k＝1 B．k＝﹣1 C．k＝0 D．k＝±1 7．（2024秋•饶阳县期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若x＝0是方程的一个根，则c＝0；②若a﹣b+c＝0且4a+2b+c＝0，则x1+x2＝1，x1x2＝﹣2；③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0存在两个根x1＝2，x2＝5，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝1，x2＝4；④若c是ax2+bx+c＝0方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中一定正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（每小题4分，共20分） 8．（2022秋•安徽月考）欧几里得的《原本》中记载着方程x2+ax＝b2的图解法：画Rt△ABC，∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的一个正根为 　 　 ．（选填“AC”、“CD”、“AD”、“BC”）的长． 9．（2024秋•东海县月考）求方程x2+3x+2＝0的根时，根据求根公式，列式为，则m的值为 　 　 ． 10．（2024秋•丹江口市期中）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2027﹣6a2+2a的值是 　 　 ． 11．（2024秋•江宁区校级月考）如图，若图形的面积为24，则图中x的值为 　 　 ． 12．（2022春•西湖区校级月考）对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2+6x}＝16，则x＝　 　 ． 三．解答题（共52分） 13．（16分）（2023秋•江阴市校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）4x2＝9； （2）x2+4x﹣4＝0； （3）（3x﹣1）2＝（x+1）2； （4）． 14．（12分）（2024秋•苏州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若8﹣3x1x2，求m的值． 15．（8分）（2024秋•息县月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 16．（16分）（2021秋•沭阳县校级月考）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△OPQ的面积是9； （3）当t为何值时，△PQB为直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程自主检测试卷 （满分：100分 时间：60分钟） 一．选择题（每小题4分，共28分） 1．（2024秋•东台市月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m﹣1≠0及m2+1＝2，解之即可得出m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣1， ∴m的值是﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（2024秋•南京期中）若关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1 【分析】根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根， ∴m+1≥0， 解得：m≥﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法﹣直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 3．（2024春•怀宁县期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 【分析】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 5．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， ，， 所以b＝﹣7a，c＝10a， 所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， 则x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 6．（2025•龙马潭区一模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2，且2，则k的值是（　　） A．k＝1 B．k＝﹣1 C．k＝0 D．k＝±1 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2， ∴x1+x22k，x1•x21； （x1+x2）2﹣2x1•x2； ∴4k2﹣2＝2； ∴4k2＝4， 解得：k＝±1． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：，． 7．（2024秋•饶阳县期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若x＝0是方程的一个根，则c＝0；②若a﹣b+c＝0且4a+2b+c＝0，则x1+x2＝1，x1x2＝﹣2；③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0存在两个根x1＝2，x2＝5，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝1，x2＝4；④若c是ax2+bx+c＝0方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中一定正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据一元二次方程的解的定义逐项分析即可． 【详解】解：①把x＝0代入ax2+bx+c＝0，得c＝0， 故①符合题意； ②∵a﹣b+c＝0且4a+2b+c＝0， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0， ∴方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝2， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 故②符合题意； ③∵方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0存在两个根x1＝2，x2＝5， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝4， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝1，x2＝4， 故③符合题意； ④∵c是ax2+bx+c＝0方程的一个根， ∴ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0， 故④不符合题意； 综上所述，一定正确的是①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值，理解并灵活的运用一元二次方程的解的概念是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，共20分） 8．（2022秋•安徽月考）欧几里得的《原本》中记载着方程x2+ax＝b2的图解法：画Rt△ABC，∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的一个正根为 　AD　 ．（选填“AC”、“CD”、“AD”、“BC”）的长． 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】解：用求根公式求得：， ∵， ∴， ∴． AD的长就是方程的正根． 故答案为：AD． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2024秋•东海县月考）求方程x2+3x+2＝0的根时，根据求根公式，列式为，则m的值为 　﹣3　 ． 【分析】对照一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 故m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查了求根公式，解题的关键是掌握求根公式． 10．（2024秋•丹江口市期中）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2027﹣6a2+2a的值是 　2025　 ． 【分析】根据题意得出3a2﹣a＝1，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：由条件可知3a2﹣a＝1， ∴2027﹣6a2+2a＝2027﹣2（3a2﹣a）＝2027﹣2＝2025， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握解一元二次方程是关键． 11．（2024秋•江宁区校级月考）如图，若图形的面积为24，则图中x的值为 　4　 ． 【分析】由图可得右上角正方形的边长为1，所以图形的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，（x+1）2﹣12＝24， ∴（x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， 解得x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）， ∴图中x的值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程是解题的关键． 12．（2022春•西湖区校级月考）对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2+6x}＝16，则x＝　﹣3或2　 ． 【分析】根据题意分两种情况，①当（x﹣1）2＝16，②当x2+6x＝16，应用解一元二次次方程的方法进行计算，再根据题意的新定义的运算方法，把求出x的值代入计算是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：根据题意， ①当（x﹣1）2＝16， 解得：x1＝5，x2＝﹣3， 当x＝5时，x2+6x＝52+6×5＝55， ∵16＜55， ∴x＝5，不符合题意； 当x＝﹣3时，x2+6x＝（﹣3）2+3×（﹣6）＝﹣9， ∵16＞﹣9， ∴x＝﹣3符合题意； ②当x2+6x＝16， 即x2+6x﹣16＝0， （x+8）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣8，x2＝2， 当x＝﹣8时，（x﹣1）2＝（﹣8﹣1）2＝81， ∵81＞16， ∴x＝﹣8不符合题意； 当x＝2时，（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1， ∵1＜16， ∴x＝2符合题意； 综上：x＝﹣3或x＝2． 故答案为：﹣3或2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次次方程，正确理解题意应用解一元二次次方程的方法进行求解是解决本题的关键． 三．解答题（共52分） 13．（16分）（2023秋•江阴市校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）4x2＝9； （2）x2+4x﹣4＝0； （3）（3x﹣1）2＝（x+1）2； （4）． 【分析】（1）利用直接开方法解该一元二次方程即可； （2）利用配方法解该一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解该一元二次方程即可； （4）利用公式法解该一元二次方程即可． 【详解】解：（1）4x2＝9， ， ∴， 即，； （2）x2+4x﹣4＝0， x2+4x＝4， x2+4x+4＝4+4， （x+2）2＝8，， ∴，； （3）（3x﹣1）2＝（x+1）2， （3x﹣1）2﹣（x+1）2＝0， （3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）＝0， ∴4x＝0或2x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝1； （4）方程化为4x2+2x﹣1＝0， 则a＝4，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×（﹣1）＝20＞0， ∴该方程有两个不相等的根，且， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． 14．（12分）（2024秋•苏州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若8﹣3x1x2，求m的值． 【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． ∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0， 解得：m． （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2， ∵8﹣3x1x2， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0， 解得：m1，m2＝2（舍去）， ∴实数m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式Δ≥0是解题的关键． 15．（8分）（2024秋•息县月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（16分）（2021秋•沭阳县校级月考）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△OPQ的面积是9； （3）当t为何值时，△PQB为直角三角形． 【分析】 【详解】（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，由AD平分∠AOC，得△OPE是等腰直角三角形，故OPt，PEOP＝t，OQ＝2t，而OQ•PE＝9，即可得t＝3； （3）要使△PQB为直角三角形，利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分三种情况①∠PQB＝90°，②∠PBQ＝90°，③∠BPQ＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出符合题意的t值． 解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠DOQ＝45°， 在Rt△AOD中，∠ADO＝45°， ∴AO＝AD＝2，OD＝2， ∴t2； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，如图： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∵AD平分∠AOC， ∴∠DOQ＝∠AOD＝45°， ∴△OPE是等腰直角三角形， ∴当运动时间为t秒时，OPt，OE＝PEOP＝t，OQ＝2t， ∵△OPQ的面积是9， ∴OQ•PE＝9，即2t•t＝9， 解得：t1＝3，t2＝﹣3（不合题意，舍去）， 答：当t为3时，△OPQ的面积是9； （3）由（2）知：OE＝PE＝t，OQ＝2t， ∴P（t，t），Q（2t，0）， ∵四边形OABC是矩形，A（0，2）、C（6，0）， ∴B（6，2）， ∴PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2， ①若∠PQB＝90°，如图： ∴PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2， 整理得：4t2﹣8t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝2， ∴t＝2， ②若∠PBQ＝90°，如图： ∴PB2+QB2＝PQ2，即[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2， 整理得：t2﹣10t+20＝0， 解得：t＝5±． ③若∠BPQ＝90°， ∴PB2+PQ2＝QB2，即[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+2t2＝（6﹣2t）2+22， 整理得：8t＝0， 解得：t＝0（舍去）． ∴当t＝2或t＝5或t＝5时，△PQB为直角三角形． 本题考查四边形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度适中． 【点睛】 1 学科网（北京）股份有限公司 $$