1.3 一元二次方程的根与系数的关系 【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】同步练习课时作业-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点 一元二次方程根与系数关系 1．（2025•盐城一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 2．（2025春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则下列结论中正确的是（　　） A． B．xx2＝1 C． D．x1÷x2＝1 3．（2025春•崇川区校级月考）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两根，则x1x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 4．（2025春•宿城区校级月考）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 5．（2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 6．（2015秋•泰州校级月考）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣1，则这个一元二次方程可以是　 ． 7．（2025•工业园区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根，则m2+4n的值是　 　 ． 8．（2024秋•邗江区月考）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2﹣4a﹣2β﹣2的值是　 　 ． 9．（2025•南京三模）设x1，x2是方程x2+bx﹣4＝0的两个根（x1＞x2），若x1+x2＝3，则x1﹣x2＝　 　 ． 10．（2025春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　 　 ． 11．（2023秋•沭阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且0，求m的值． 12．（2025春•崇川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 13．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 14．（2024春•杭州月考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是 　 　 ． 15．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　 　 ． 16．（2023秋•南京期中）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根．若x1x2＜0，则x1+x2的取值范围是 　 　 ． 17．（2024秋•江宁区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　 　 ； ①x2+2x﹣3＝0②x2﹣3x＝0③x2+1＝0④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 18．（2023秋•东坡区期末）已知实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n，若a≥3，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点 一元二次方程根与系数关系 1．（2025•盐城一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝8． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 2．（2025春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则下列结论中正确的是（　　） A． B．xx2＝1 C． D．x1÷x2＝1 【分析】根据两根之和等于，两根之积等于解答即可． 【详解】解：∵2x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2， x1x2． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于，两根之积等于． 3．（2025春•崇川区校级月考）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两根，则x1x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】此题可以直接由根与系数的关系求得． 【详解】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两根， ∴x1x2． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 4．（2025春•宿城区校级月考）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 【分析】将2n2+7n﹣3＝0化为，得到实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：原方程转化为， 由条件可知实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识． 5．（2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 6．（2015秋•泰州校级月考）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣1，则这个一元二次方程可以是　x2﹣x﹣2＝0　 ． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，观察各式即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是﹣1和2， ∴x1+x2＝1 x1x2＝﹣2． ∴这个方程为：x2﹣x﹣2＝0． 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是． 7．（2025•工业园区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根，则m2+4n的值是　28　 ． 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n＝4，m2﹣4m﹣12＝0，将m2+4n变成4m+12+4n的形式，即可得出结论． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根， ∴m+n＝4， ∴m2﹣4m﹣12＝0， ∴m2＝4m+12， ∴m2+4n＝4m+12+4n＝4（m+n）+12＝4×4+12＝16+12＝28， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是结合根与系数的关系将m2+4m变形成4m+12+4n． 8．（2024秋•邗江区月考）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2﹣4a﹣2β﹣2的值是　2018　 ． 【分析】利用一元二次方程根的意义和根与系数的关系定理得到α2﹣2α＝2024，α+β＝2，将a2﹣4a﹣2β﹣2变形为α2﹣2α﹣2（α+β）﹣2，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴α2﹣2α﹣2024＝0，α+β＝2， ∴α2﹣2α＝2024， ∴a2﹣4a﹣2β﹣2 ＝a2﹣2a﹣2α﹣2β﹣2 ＝α2﹣2α﹣2（α+β）﹣2 ＝2024﹣2×2﹣2 ＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 9．（2025•南京三模）设x1，x2是方程x2+bx﹣4＝0的两个根（x1＞x2），若x1+x2＝3，则x1﹣x2＝　5　 ． 【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，然后将x1﹣x2变形为，再代入即可． 【详解】解：根据题意得x1x2＝﹣4， ∵x1+x2＝3， ∴x1﹣x2 ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 10．（2025春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　﹣1　 ． 【分析】根据根与系数的关系可得x1x2＝1，则，根据一元二次方程的解的定义可得，则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：由条件可知x1x2＝1，， ∴， ∴， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2023秋•沭阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且0，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2） ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵x1 x2 是方程的两根，x1+x2＝﹣（m+3），， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0， ∴x1+x2＝0 或 x1﹣x2＝0，当 x1+x2＝0 时，﹣（m+3）＝0，解得：m＝﹣3，当 x1﹣x2＝0 时，即 x1＝x2， ∴Δ＝（m+1）2＝0，解得：m＝﹣1， 综上所述：m的值为﹣3或﹣1． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 12．（2025春•崇川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【分析】（1）根据方程有实数根得到Δ≥0，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由条件可知Δ＝16﹣4（5﹣2m）≥0， 解得：； （2）∵x1，x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝5﹣2m， ∴， 解得：m＝5或m＝﹣1； 由（1）可知：， ∴m＝5． 【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x22，x1x2，再利用2，得到﹣2＝2，解方程得到k＝﹣1，然后根据根的判别式的意义确定k的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x22，x1x2， ∵2， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴﹣2＝2， 解得k＝﹣1， 方程化为﹣x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴k的值为﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 14．（2024春•杭州月考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是 　23　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根， 所以， 则， 所以 ＝12﹣2×（﹣11） ＝1+22 ＝23． 故答案为：23． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧用整体思想是解题的关键． 15．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　5　 ． 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵菱形的面积＝两条对角线积的一半， ∴ab＝24即ab＝48． ∴由题意得，， ∴菱形的边长 ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 16．（2023秋•南京期中）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根．若x1x2＜0，则x1+x2的取值范围是 　x1+x2＜1　 ． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2，由x1x2＜0，得0，即1，所以x1+x21， 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根， ∴x1+x2，x1x2， ∵x1x2＜0， ∴0， 即﹣10， ∴1， ∴x1+x21， 则x1+x2的取值范围是x1+x2＜1． 故答案为：x1+x2＜1． 【点睛】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． 17．（2024秋•江宁区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　①④　 ； ①x2+2x﹣3＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2+1＝0 ④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 【分析】（1）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【详解】（1）解：方程x2+2x﹣3＝0，1+2﹣3＝0，方程①是美好方程； 方程x2﹣3x＝0，1﹣3＝﹣2≠0，方程②不是美好方程； 方程x2+1＝0，1+1＝2≠0，方程③不是美好方程； 方程x（x﹣1）＝2（x﹣1），整理，得x2﹣3x+2＝0，1﹣3+2＝0，方程④是美好方程； 故答案为：①④； （2）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0， ∴a+b+c＝0， ∴﹣b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴美好方程ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）证明：方法1∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0， ∴c2﹣2ac+a2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0， ∴c2+2ac+a2﹣4ab﹣4bc+4b2＝0， ∴（c+a）2﹣2（a+c）⋅（2b）+（2b）2＝0， ∴（c+a﹣2b）2＝0， 故c+a﹣2b＝0， 故a+c＝2b． 方法2 将x＝1代入美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0，得： 左边＝（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b），右边＝0， ∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴x＝1是美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0的一个根， ∴方程的另一个根也是x＝1， ∴， ∴a﹣b＝b﹣c， ∴a+c＝2b． 【点睛】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式，正确理解美好方程的定义是解题的关键． 18．（2023秋•东坡区期末）已知实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n，若a≥3，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 　3　 ． 【分析】先由已知条件得到m2+1＝am，n2+1＝an，则（m﹣1）2+（n﹣1）2可变形为（a﹣2）（m+n），再把m、n可看作关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的两根，根据根与系数的关系得到 m+n＝a，所以（m﹣1）2+（n﹣1）2＝（a﹣1）2﹣1，然后利用a的范围确定代数式的最小值． 【详解】解：∵m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0， ∴m2+1＝am，n2+1＝an， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝am+an﹣2m﹣2n＝a（m+n）﹣2（m+n）＝（a﹣2）（m+n）， ∵实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n， ∴m、n可看作关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的两根， ∴m+n＝a， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝a（a﹣2）＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1， ∵a≥3， ∴当a＝3时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，最小值为（3﹣1）2﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$