1.1一元二次方程【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】同步练习课时作业-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.1一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义及一般形式 1．（2024秋•海州区期中）下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x﹣y＝3 B． C．x2+3x﹣7＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．（2024秋•泉山区期中）将方程2x2＝﹣3x+5化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，﹣5 B．﹣2，3，5 C．2，﹣3，5 D．2，3，5 3．（2021秋•金湖县期末）若方程mx2+4x﹣3＝2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 4．（2024秋•海淀区月考）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 5．（2024秋•晋江市月考）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　 　 ． 知识点2 用一元二次方程描述实际问题中的数量关系 6．（2024•从江县一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝42 B． C．x（x+1）＝42 D． 7．（2025•秦州区模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A． B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 8．（2024•凉山州模拟）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32+x）＝100 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32+x）＝540 9．（2024秋•丹徒区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为 　20（1﹣x）2＝12.8　 ． 10．（2024秋•宜都市期中）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1、﹣3 B．1、3 C．﹣1、3 D．无法确定 11．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　 　 ． 12．（2023秋•云岩区期中）已知m为方程x2+3x﹣2024＝0的根，那么m3+2m2﹣2027m+2024的值为（　　） A．﹣2024 B．0 C．2024 D．4048 13．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　 （不必化简）． 14．（2023秋•惠山区月考）一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积． 15． 已知关于x的方程（k﹣2）xk2﹣2+3x﹣5＝0是一元二次方程，求直线y＝kx﹣k与两坐标轴围成的三角形的面积． 16．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 17．（2021秋•新罗区月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　 　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义及一般形式 1．（2024秋•海州区校级期中）下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x﹣y＝3 B． C．x2+3x﹣7＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、x﹣y＝3方程有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、x1方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、x2+3x﹣7＝0方程是一元二次方程，符合题意； D、ax2+bx+c＝0只有当a≠0时，该方程才是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解本题的关键． 2．（2024秋•泉山区校级期中）将方程2x2＝﹣3x+5化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，﹣5 B．﹣2，3，5 C．2，﹣3，5 D．2，3，5 【分析】先将该方程整理成一元二次方程的一般式，再运用一元二次方程的定义进行求解． 【详解】解：整理，得2x2+3x﹣5＝0， ∴该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣5， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程一般式的应用能力，关键是能准确变形、求解． 3．（2021秋•金湖县期末）若方程mx2+4x﹣3＝2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．由定义求解即可． 【详解】解：∵方程mx2+4x﹣3＝2x2是关于x的一元二次方程， ∴（m﹣2）x2+4x﹣3＝0， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4．（2024秋•海淀区校级月考）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【分析】把x＝0代入一元二次方程得出关于a的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把x＝0代入x2+x+a2﹣4＝0，得a2﹣4＝0， a2＝4， 解得：a＝±2， ∴a的值为2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．（2024秋•晋江市校级月考）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和“关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0”得到：m2﹣4＝0且m+2≠0，据此求得m的值． 【详解】解：根据题意，得 m2﹣4＝0， 解得，m＝±2； 又∵二次项系数m+2≠0，即m≠﹣2， ∴m＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件． 知识点2 用一元二次方程描述实际问题中的数量关系 6．（2024•从江县校级一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝42 B． C．x（x+1）＝42 D． 【分析】利用比赛的总场数＝七年级班级数×（七年级班级数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：x（x﹣1）＝42． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 7．（2025•秦州区校级模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A． B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 【分析】先求出宽为（60﹣x）步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为（60﹣x）步， 则可列方程为x（60﹣x）＝864， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 8．（2024•凉山州模拟）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32+x）＝100 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32+x）＝540 【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米， 根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 9．（2024秋•丹徒区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为 　20（1﹣x）2＝12.8　 ． 【分析】利用该款玩具经过两次降价后的售价＝该款玩具的原价×（1﹣平均两次降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：20（1﹣x）2＝12.8． 故答案为：20（1﹣x）2＝12.8． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2024秋•宜都市期中）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1、﹣3 B．1、3 C．﹣1、3 D．无法确定 【分析】分别把x＝1或x＝﹣3代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根． 【详解】解：当x＝1时，a+b+c＝0， 当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＝0， 所以方程的根分别为1或﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　6　 ． 【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m， ∴m2 ＝（m）2+2 ＝（）2+2 ＝22+2 ＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 12．（2023秋•云岩区校级期中）已知m为方程x2+3x﹣2024＝0的根，那么m3+2m2﹣2027m+2024的值为（　　） A．﹣2024 B．0 C．2024 D．4048 【分析】把m代入得到m2+3m＝2024，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m为方程x2+3x﹣2024＝0的根， ∴m2+3m＝2024， ∴m3+2m2﹣2027m+2024 ＝m（m2+3m）﹣m2﹣2027m+2024 ＝2024m﹣m2﹣2027m+2024 ＝﹣（m2+3m）+2024 ＝﹣2024+2024 ＝0， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的法则是解题的关键． 13．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　15x（10﹣x）＝360　 （不必化简）． 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【详解】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm）， 则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360． 故答案为：15x（10﹣x）＝360． 【点睛】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键． 14．（2023秋•惠山区校级月考）一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积． 【分析】a（x2+1）+b（x+2）+c＝0展开后x2的系数等于6，x的系数等于10． 【详解】解：∵a（x2+1）+b（x+2）+c＝0， ∴ax2+bx+a+2b+c＝0， ∵一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0， ∴a＝6，b＝10， ∴S菱形6×10＝30． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一般形式、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半的，正确记忆相关知识是解决本题的关键． 15．已知关于x的方程（k﹣2）xk2﹣2+3x﹣5＝0是一元二次方程，求直线y＝kx﹣k与两坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】仔细分析题意，求出直线与坐标轴的交点是解答的关键，故此时需确定直线的解析式，即确定参数k的值；根据关于x的方程（k﹣2）xk2﹣2+3x﹣5＝0是一元二次方程可得k2﹣2＝2、k﹣2≠2，由此可得到k的值 此时即可确定直线解析式，然后求出其与坐标轴的交点坐标，问题即可得解． 【详解】解：∵（k﹣2）xk2﹣2+3x﹣5＝0是一元二次方程， ∴k2﹣2＝2、k﹣2≠2， ∴k＝﹣2， ∴直线对应的函数表达式为y＝﹣2x+2． 令x＝0，将其代入y＝﹣2x+2得y＝2； 令y＝0，将其代入y＝﹣2x+2得x＝1． 故直线y＝﹣2x+2与坐标轴的交点坐标分别为（1，0）、（0，2）， ∴边长分别为1和2， ∴所求面积为1×2＝1． 答：直线y＝kx﹣k与两坐标轴围成的三角形的面积为1． 【点睛】本题侧重考查知识点的记忆、理解能力． 学生在日常学习中应从以下2个方向（【数学抽象】【数学运算】）培养对知识点的记忆、理解能力． 16．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 17．（2021秋•新罗区校级月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$