【第二章 分式 03讲 分式的乘法和除法】【三大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第二章 分式 03讲 分式的乘法和除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式除法】……………………………………………………………………… 5 【题型3. 分式乘方】……………………………………………………………………… 8 【题型4. 含乘方的分式混合运算】……………………………………………………… 11 【题型5. 分式的化简求值】……………………………………………………………… 16 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 分式乘法 1.运算法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母. 即 . 知识点2 分式除法 1.运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即如果，则 . 知识点3 分式的乘方 1.运算法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】（24-25八年级下·海南海口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【例2】（2025·重庆渝中·二模）计算： ． 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D ． 【变式2】（24-25九年级下·四川南充·阶段练习）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【分析】本题考查分式乘法，掌握运算法则是解题关键． 按分式乘法法则进行运算即可． 【详解】， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 分式除法 【例1】（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算， 先将除法变成乘法，再约分可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 【变式2】（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的除法，根据分式的除法运算进行计算，即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 故选：D ． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把第一个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分即可即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式                 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 分式乘方 【例1】（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）化简： ． 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（2025·河南驻马店·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意；故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算： ． 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 含乘方的分式混合运算 【例1】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）已知，则 ； （4）已知，则 ． 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，分式的混合计算，分式的求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案； （2）先把除法变成乘法，再把第一项利用平方差公式分解因式，再约分求解即可得到答案； （3）把所求分式的分子和分母同时除以，再把整体代入计算求解即可； （4）根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 故答案为；； （3）∵， ∴ ； 故答案为：； （4）∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 计算： 解：原式                                   解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = = 题型5. 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法，化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 【例2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）（1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】                   ， ∵，， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号里面的分式加法，再把分式除法转化成分式的乘法，然后约分计算，最后根据分式有意义的条件选出合适的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当或或时，分式无意义， 故当时， 则原式 【变式2】（2025·贵州·中考真题）（1）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）先化简再求值：，其中． 【分析】本题考查分式的化简求值．先通分，再利用同分母的分式加减法把原式进行化简，再把化成代入进行计算即可． 【详解】解：， 当时，时，原式 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）下列式子中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则以及分式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的求值．解题关键是将比例式转化为与的关系，再代入分式中化简． 设，将和用表示，从而代入简化计算． 【详解】根据比例式，设，代入分式： ， 答：A． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．先把已知条件中的等式中的分式进行通分，把用表示出来，再利用完全平方公式把所求分式的分子和分母展开，写成含有的形式，再把换成，进行约分即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①将转化为关于的不等式，判断其恒成立的条件； ②代入计算的值； ③当时，将分式化简并分析可能的整数解． 【详解】由得，化简得，即．因此，若对任意成立，则必须满足，结论①正确； 当时，，，，与无关，结论②正确； 当时，分式需为负整数， 由分式值为整数得分母为6的因数，可取，可取， 又分式值为负数，对的值逐个检验，只有，，符合题意，故共2个整数解，结论③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 故选：D． 5．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．将分式除法转化为乘法，约分后分析分母是否被完全约去，从而判断结果是否为整式． 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 6．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查分式的运算，通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， ， ， 故①错误； 同理可求出，， ∴ ∴，故②正确； 通过递推得 ，故③错误； 由递推关系 ，，得 ，与题目中的不符，故④错误。 综上，仅结论②正确，正确个数为1个， 故选：A． 7．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一组有序排列的数：（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期中） ． 【分析】本题主要考查分式的四则混合运算，原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后化为最简结果即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值．将化成，利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，整理得， ∴， 故答案为：13． 13．（24-25八年级下·福建泉州·期中）计算： ． 【分析】本题主要考查分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据含乘方的分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 15．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为 ． 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解，分式的化简．熟练掌握恒等式性质，分式化简，因式分解是解题的关键． 化简已知条件得．得或．当时，．当时，，不合题意．综上，的值为． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时乘以去分母，得， 移项，得． 对前两项和后两项分别提取公因式，得， 再提取公因式，得． ∴或， 即或． 当时， ． 当时， ，， 不合题意． 综上，的值为， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，则代数式的值是 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解： ， 由可得， 将代入原式可得，原式． 故答案为：2． 18．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）已知分式的值为负整数，则满足条件的整数的所有的值的和是 ． 【分析】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数，分式有意义的条件等等．先化简分式，然后根据分式的值为正整数， 为整数，进行求解即可得到答案． 【详解】解：， ∵分式的值为负整数，为整数， ∴或或或且，， 解得，或或或且，． ∴m的值为0或1或2． ∴满足条件的整数的所有的值的和是． 故答案为：3． 19．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算异分母的分式加减，再代入求值． 【详解】解：， 故答案为：0． 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果，，是正数，且满足，，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，，，进而代入代数式化简计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 三、解答题 21.计算 解：原式= = 解：原式 解：原式= = = = 解：原式 解：原式 解：原式 = = = = = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入，原式． 23．（24-25八年级下·广东佛山·期中）化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是主要代入求值时要保证分母不为0；先把分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分，进而得到化简结果，代入合适的值即可 【详解】解： ， ∵要使分式有意义，m取2 ∴当时，原式 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，且x为正整数 ∴当时，原式． 25．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）我们知道．假分数可以化为带分数，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或大等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和）． 例如：； ． 请根据上述条件解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)若分式的值为整数，求的整数值． 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用所给的带分式的形式进行解答即可； （2）结合题目所给的方式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴，， 解得：或0或4或． 26．（23-24八年级上·广西桂林·期中）同学们已经学习了整式、分式还有算术平方根，小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③中，属于神奇对称式的是______（填序号）； (2)已知． ①若，，则神奇对称式的值______； ②若，且神奇对称式的值为，求p的值． 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）根据神奇对称式的概念求解即可； （2）①由，得出，再根据直接求解即可；②由，得出，再列关系式，解该式子即可求解． 【详解】（1）解：①交换m、n后为，故①是神奇对称式； ②交换m、n后为，故②不是神奇对称式； ③交换a、b或交换b、c或交换a、c后都是，故③是神奇对称式； 故答案为：①③； （2）解：∵， ∴ ∴， ①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 28．（24-25八年级下·海南·期末）（1）计算；   （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：．    解：原式          第一步    第二步                     第三步                     第四步                          第五步 任务1：上述计算过程中，第 步出现了错误，错误的原因是 ； 任务2：请写出该分式正确的化简过程． 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算法则是解决问题的关键． （1）先计算分式的乘方运算，再将除法转化为乘法，约分即可得到答案； （2）任务1，根据分式混合运算法则检验即可得到答案；任务2，先对分式分子分母因式分解，再通分，由分式减法运算化简后约分即可得到答案． 【详解】解：（1） =； （2）任务1：上述计算过程中，第三步出现了错误，错误的原因是分式的分母去掉了（不应去掉分母）； 任务2： ． 29．（24-25九年级下·江西·期末）是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求的最大值与最小值． 【分析】本题考查了代数式求值，分式的化简，将变形为，根据题意得到，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，都是整数， ∴为整数， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， ∴， ∴， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， 当，时，最小，最小值为：， 当，时，最大，最小值为：， ∴的最大值为，最小值为． 30．（24-25八年级下·江苏南京·期末）阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，令，，，然后通分，再化简运算即可． 【详解】（1）证明：左边 ； （2）解：时， 证明： ； （3）解：当时， 令，，，则 ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式 03讲 分式的乘法和除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式除法】……………………………………………………………………… 3 【题型3. 分式乘方】……………………………………………………………………… 5 【题型4. 含乘方的分式混合运算】……………………………………………………… 6 【题型5. 分式的化简求值】……………………………………………………………… 8 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 分式乘法 1.运算法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母. 即 . 知识点2 分式除法 1.运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即如果，则 . 知识点3 分式的乘方 1.运算法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】（24-25八年级下·海南海口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·重庆渝中·二模）计算： ． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·四川南充·阶段练习）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 计算： 题型2. 分式除法 【例1】（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【变式1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 计算： 题型3. 分式乘方 【例1】（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）化简： ． 【变式1】（2025·河南驻马店·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算： ． 计算： 题型4. 含乘方的分式混合运算 【例1】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）已知，则 ； （4）已知，则 ． 计算： 题型5. 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中． 【例2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）（1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【变式2】（2025·贵州·中考真题）（1）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）先化简再求值：，其中． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）下列式子中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一组有序排列的数：（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期中） ． 12．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为 ． 13．（24-25八年级下·福建泉州·期中）计算： ． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 15．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为 ． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，则代数式的值是 ． 18．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）已知分式的值为负整数，则满足条件的整数的所有的值的和是 ． 19．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果，，是正数，且满足，，则的值为 ． 三、解答题 21.计算 22．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 23．（24-25八年级下·广东佛山·期中）化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 25．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）我们知道．假分数可以化为带分数，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或大等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和）． 例如：； ． 请根据上述条件解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)若分式的值为整数，求的整数值． 26．（23-24八年级上·广西桂林·期中）同学们已经学习了整式、分式还有算术平方根，小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③中，属于神奇对称式的是______（填序号）； (2)已知． ①若，，则神奇对称式的值______； ②若，且神奇对称式的值为，求p的值． 27．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 28．（24-25八年级下·海南·期末）（1）计算；   （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：．    解：原式          第一步    第二步                     第三步                     第四步                          第五步 任务1：上述计算过程中，第 步出现了错误，错误的原因是 ； 任务2：请写出该分式正确的化简过程． 29．（24-25九年级下·江西·期末）是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求的最大值与最小值． 30．（24-25八年级下·江苏南京·期末）阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$