【第二章 分式 01讲 分式的概念及基本性质】【四大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第二章 分式 01讲 分式的概念及基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断】…………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式有无意义的条件】………………………………………………………… 5 【题型3. 分式为0的条件】……………………………………………………………… 6 【题型4. 分式的基本性质的应用】……………………………………………………… 8 【题型5. 约分与最简分式】……………………………………………………………… 10 【题型6. 分式中的求参问题】…………………………………………………………… 13 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 15 知识清单 知识点1 分式 1.概念：设f和g都是多项式，其中g是不为零多项式，我们把f除以g的结果记作，称是分式，其中f称为分子，g称为分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠=时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘一个不等于0的多项式（或除以它们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：如果分子与分母没有公因式的分式，那么称这个分式是最简分式.如： . 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查分式定义：分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义，逐一判断各代数式的分母是否含有字母即可得到答案． 【详解】解：：分母为常数5，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为常数，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； ：分母为常数3，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； 综上所述，分式共有3个， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各式的分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵，，的分母中含有字母，符合分式的定义， ∴，，是分式， ∵，，分母中不含字母，不符合分式的定义， ∴，，不是分式， ∴，，，，，中，共有个分式， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知上述式子中，是分式的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，逐一判断每个式子是否符合条件即可． 【详解】解：：分母为x，含字母，是分式； ：分母为，含字母x，是分式； ：分母为，含字母x，是分式； ：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式； ：分母为，含字母a，是分式； 综上，分式共有4个，对应选项D， 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 题型2. 分式有无意义的条件 【例1】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式无意义的条件．掌握使分式无意义的条件是分母为0是解题关键．根据使分式无意义的条件“分母为0”计算即可． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【分析】本题考查分式有意义的条件．分式的分母不能为0，因此需满足分母，从而确定的取值范围． 【详解】解：分式有意义的条件是分母． 解此不等式得， 因此的取值范围是． 故选C． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）要使分式有意义，则（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3. 分式为0的条件 【例1】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【例2】（24-25七年级下·安徽宣城·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如果分式的值为零，那么（    ） A． B．2 C． D． 【分析】此题考查分式的值为零的条件，分式为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此解答 【详解】解：解方程 ，得 或 ， 分母不为零的验证： - 当 时，分母 ，此时分式无意义，舍去； - 当 时，分母 ，满足条件； 综上，唯一满足条件的解为 ，对应选项 C， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·江西宜春·期中）若分式的值等于，则 ． 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 题型4. 分式的基本性质的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分子分母需同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，若则分母为0，分式无意义，故A错误． 选项B：，左边分子分母同乘，得，与右边相等，故B正确． 选项C：，分子分母分别平方，相当于分子乘、分母乘，若，分式值改变，故C错误． 选项D：，分子分母同减，不符合分式基本性质（需同乘或同除），如，，时，左边为，右边为，显然不等，故D错误． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的．故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可． 【详解】解：A．左边（分子负负得正），右边，显然不等，故A错误． B．左边（分子整体取反），右边，分子符号不同，故B错误． C．左边，与右边完全相同，故C正确． D．左边，右边，左边为负，右边为正，故D错误． 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，扩大为原来的3倍， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 题型5. 约分与最简分式 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 【例2】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简分式的判定，根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，逐一分析各选项，判断是否存在公因式． 【详解】解：A、 ，分母在实数范围内无法因式分解，分子与分母无公因式，因此该分式无法约分，是最简分式，符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、，故不是最简分式，不符合题意， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最贱分式的定义逐项分析即可． 【详解】A．分子为，分母为，公因式为，可约分为，故A不是最简分式． B．分子可分解为，分母为，存在公因式，约分后为，故B不是最简分式． C．分子为二项式，分母为单项式．两者无公因式，故C是最简分式． D．分子与分母互为相反数，可化为，存在公因式，故D不是最简分式． 故选C． 【变式2】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）化简 ． 【分析】本题主要考查了分式化简的基本方法，涉及约分和指数运算的应用，掌握运算法则是解题的关键． 找出分子分母的公因式直接进行约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型6. 分式中的求参问题 【例1】（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式．若无法约分，则为最简分式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵使分式有意义， ∴，解得． 故选B． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】选项A： 分子分母同时加2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等。故A错误． 选项B： 分子分母同时减2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故B错误． 选项C： 左边为，右边为，仅当或时成立． 但，且时虽成立，但非普遍情况． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故C错误． 选项D： 计算左边：，右边为，显然左边=右边． 故D正确． 故选：D． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的值为0，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0； 【详解】解：要使分式的值为0，需满足： 1. 分子为0：，解得； 2. 分母不为0：当时，分母，满足条件； 故选：B． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的变形，将原分式通过符号变形转化为分母为的形式． 【详解】解：解：原式为，根据分式的基本性质，分式的负号可以调整到分母，即：， 因此，原式可变形为选项B的． 故选：B． 7．（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 8．（24-25八年级下·福建宁德·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式；根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、不能化简，是最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，将对应选项中的式子中的x、y分别替换为，计算替换后的式子的结果，判断是否与原式相等即可得到答案． 【详解】解：A、原式为，替换后为，分子为，分母为，无法约去公因数3，故值改变，不符合题意． B、原式为，替换后为，分子分母约去3后，分母变为原式的3倍，值改变，不符合题意． C、原式为，替换后为，分子分母约去公因数3，值不变，符合题意． D、原式为，替换后为，分子变为原式的3倍，值改变，不符合题意． 故选：C． 10．（24-25八年级下·山东济南·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·重庆·期中）若，则 ． 【分析】此题考查了分式的求值．根据题意，•，把代入，即可． 【详解】解：根据题意可知，•， 又∵， ∴则． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，那么的值是 ． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 13．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如果分式有意义，那么的取值范围是 ． 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不为零是解答的关键．根据分式的分母不为零求解即可. 【详解】解：分式有意义，得：． 解得， 故答案为． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值为0，则的取值是 ． 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故答案为：4． 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：，则 ． 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 19．（24-25八年级下·河南郑州·期末）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 20．（2025·河北邯郸·二模）若分式有意义，请你写出一个x的整数值 ． 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故的值可以为2； 故答案为：2（答案不唯一） 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先将分式约分化简，然后将a的值代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 22．（24-25八年级下·江苏南京·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不为零是解答的关键． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，则， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式有意义，则x满足的条件是 ． 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，得，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为： 24．（24-25八年级下·河南焦作·期末）要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值 ． 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义， 即，则． 故x可以为2． 故答案为：2（答案不唯一）． 25．（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的值可以为 （写出一个即可）． 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握“分式的分母不为时，分式有意义”是解题的关键．根据分式有意义的条件，即分式的分母不能为，列出关于的不等式，求解得出的取值范围，再在该范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使分式有意义， 分式有意义的条件是分母不为， ， ． 那么可以取（只要满足的数均可，答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，只要即可 ）． 三、解答题 26．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 28．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式 01讲 分式的概念及基本性质 题型归纳 【题型1. 分式的判断】…………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式有无意义的条件】………………………………………………………… 3 【题型3. 分式为0的条件】……………………………………………………………… 3 【题型4. 分式的基本性质的应用】……………………………………………………… 4 【题型5. 约分与最简分式】……………………………………………………………… 5 【题型6. 分式中的求参问题】…………………………………………………………… 5 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 6 知识清单 知识点1 分式 1.概念：设f和g都是多项式，其中g是不为零多项式，我们把f除以g的结果记作，称是分式，其中f称为分子，g称为分母. 【提示】 ① 判断一个式子是不是分式不能化简再判断，如是分式，但化简之后的是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果； ② 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； ③ 分式为0的条件：当分子=0，且分母≠=时，即A=0且B≠0时，=0. 知识点2 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘一个不等于0的多项式（或除以它们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等. （其中A，B，C（C≠0）是整式） 知识点3 约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分. 知识点4 最简分式 1.定义：如果分子与分母没有公因式的分式，那么称这个分式是最简分式.如： . 题型专练 题型1. 分式的判断 【例1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知上述式子中，是分式的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 分式有无意义的条件 【例1】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）要使分式有意义，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 题型3. 分式为0的条件 【例1】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【例2】（24-25七年级下·安徽宣城·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如果分式的值为零，那么（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西宜春·期中）若分式的值等于，则 ． 题型4. 分式的基本性质的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·期末）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 题型5. 约分与最简分式 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）化简 ． 题型6. 分式中的求参问题 【例1】（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·福建宁德·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东济南·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 二、填空题 11．（24-25九年级上·重庆·期中）若，则 ． 12．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，那么的值是 ． 13．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如果分式有意义，那么的取值范围是 ． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值为0，则的取值是 ． 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：，则 ． 19．（24-25八年级下·河南郑州·期末）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 20．（2025·河北邯郸·二模）若分式有意义，请你写出一个x的整数值 ． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为 ． 22．（24-25八年级下·江苏南京·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式有意义，则x满足的条件是 ． 24．（24-25八年级下·河南焦作·期末）要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值 ． 25．（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的值可以为 （写出一个即可）． 三、解答题 26．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 28．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$