2.3 函数的奇偶性及应用 课后练习-2026届高三数学一轮复习

课后训—函数奇偶性及应用- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 函数奇偶性的判断（具体函数）】 1．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数定义域，对A，判断关系；对BCD，求得，然后根据奇偶性的概念判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，不是偶函数，故D错误. 故选：B 2．（25吉林长春高二下期末）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性定义，逐一验证判断. 【详解】对于A，，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，由，则在上单调递增，且，所以为偶函数，故B正确； 对于C，由，，故为奇函数，故C错误； 对于D，因为，，，所以在上不是单调增函数，故D错误. 故选：B. 3．（25云南玉溪高一下月考）（多选）设函数，则（    ） A．定义域为 B．是奇函数 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】BC 【分析】根据正切函数的性质可求解定义域A，根据奇偶性的定义可判断B，由指数函数和正切函数的单调性可求解CD. 【详解】由已知，函数定义域为，定义域关于原点对称，，则为奇函数， 由于均为单调递增函数，故单调递增， 当时，单调递增，所以在单调递增，故BC正确，AD错误， 故选:BC． 4．（25陕西渭南高二下月考）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）由对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）判断出函数为奇函数，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立； 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数是奇函数， 证明：由（1）知的定义域关于原点对称， 所以函数是奇函数. 【题组二 抽象函数的奇偶性】 5．（25安徽高一下开学）（多选）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】赋值法可判断A和B，根据函数的大小关系可判断选项C，根据单调性可判断D. 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以， 因为函数的定义域为，令，得， 所以，B正确； 对于C，是奇函数，且为单调函数，又， 所以是上的减函数，C错误； 对于D，由C可知是上的减函数，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 6．设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对于奇偶性，利用赋值法找到与关系； （2）证明单调性根据定义设，，比较与大小； （3）解不等式先利用已知求出，再结合函数单调性求解. 【详解】（1）令，得，． 令，则， 即， ， 即函数是奇函数； （2）设，，， 在上是增函数； （3），， ， 由单调性得，解得．故不等式解集为 7．（25陕西西安高二下期末）（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用赋值法计算判断AC；举例说明判断B；利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D. 【详解】对一切正实数，都有，， 对于A，令，，得； 令，，得，A正确； 对于B，由函数是上的奇函数，得， 因此函数在上不单调，B错误； 对于C，令，则，因此，C正确； 对于D，，，，而当时，， 则， ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 而， 当时，由，即，得， ，， ， 当时，， 解得， 因此当时，，D正确. 故选：ACD. 【题组三 奇偶性的应用（求函数值、解析式）】 8．（25福建福州高二下期末）已知定义在上的奇函数，当时，， 【答案】 【分析】利用函数性质得，再代入，即可求解. 【详解】因为定义在上的奇函数，则， 又当时，，则，所以， 故答案为：. 9．（25黑龙江高二下期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 10．若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足，求与的解析式. 【答案】 【分析】用代替，然后解关于，的方程组即可求解. 【详解】函数是上的偶函数，是上的奇函数， 所以， 即， 解得：. 【题组四 奇偶性的应用（利用奇偶性求参）】 11．（24重庆西藏中学高一上期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 12．（25河北保定高一下期末）已知定义域为R的函数是奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据求出，再代入验证即可； 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，解得， 当时，， 所以，满足是奇函数， 所以； 13．（25河北衡水高二下月考）已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】由奇函数可求得，可得，求导可求得极小值. 【详解】易得的定义域为，且为奇函数， 故， 对应相等可得，故，， 令，即，解得或；令，即，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减，故的极小值是． 故选：D． 14．（25广东揭阳高二下期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】命题为奇函数，奇函数满足， 即，整理得，解得 故成立的充要条件是. 命题为偶函数，偶函数满足 即，整理得，解得或 故成立的充要条件是或 则是成立的充分不必要条件. 故选：A. 15．（25浙江高二下期末模拟）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 【题组五 奇偶性的应用（解不等式）】 16．（25四川凉山高二下期末）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可判断函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而可解不等式. 【详解】由，解得或，定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 当时，，求导得， 令，求导得，所以， 又，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，解得，解得， 解得或. 所以使不等式成立的的取值范围是. 17．（25浙江温州高二下期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 18．（25吉林高二下期末）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 19．（25湖南长沙高一下期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 20．（25山西运城高二下期末）已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得函数在上单调递增，函数关于直线对称，进而作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】因为对任意，，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 又是偶函数，则函数关于直线对称， 则函数在上单调递减，结合， 画出函数的大致图象：    由图象可知，时，；时，；时，， 所以的解集是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—函数奇偶性及应用- 班主任： 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 函数奇偶性的判断（具体函数）】 1．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25吉林长春高二下期末）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（25云南玉溪高一下月考）（多选）设函数，则（    ） A．定义域为 B．是奇函数 C．在单调递增 D．在单调递减 4．（25陕西渭南高二下月考）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； 【题组二 抽象函数的奇偶性】 5．（25安徽高一下开学）（多选）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 6．设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 7．（25陕西西安高二下期末）（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 【题组三 奇偶性的应用（求函数值、解析式）】 8．（25福建福州高二下期末）已知定义在上的奇函数，当时，， 9．（25黑龙江高二下期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 10．若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足，求与的解析式. 【题组四 奇偶性的应用（利用奇偶性求参）】 11．（24重庆西藏中学高一上期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 12．（25河北保定高一下期末）已知定义域为R的函数是奇函数，则实数a的值为 ． 13．（25河北衡水高二下月考）已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 14．（25广东揭阳高二下期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25浙江高二下期末模拟）已知函数是奇函数，则实数 ． 【题组五 奇偶性的应用（解不等式）】 16．（25四川凉山高二下期末）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25浙江温州高二下期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25吉林高二下期末）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25湖南长沙高一下期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 20．（25山西运城高二下期末）已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$