5.4　分式方程 暑假巩固练习 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假巩固 一、分式方程的一般解法 1.将分式方程去分母，整理后可得（　　） A.5x﹣1=0 B.5x+3=0 C.2x2+3x+1=0 D.2x2﹣3x﹣1=0 2.将分式方程去分母正确的是（　　） A.3+2x=1 B.3（2﹣4x）﹣2x（4x﹣2）=1 C.3（2﹣4x）+2x（4x﹣2）=4x﹣2 D.3+2x=4x﹣2 3.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，，且点A，B到原点的距离相等，则a的值为（　　） A.1 B. C.﹣1 D.不能确定 4.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，则x=　      ． 5.若分式与（x﹣4）互为倒数，则x=　    　． 6.对于式子和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗?写出你的解题过程. 7.设A=，B=，当x为何值时，A与B的值相等? 二、用换元法解分式方程 1.已知方程，那么x2+x的值为（　　） A.﹣4 B.2 C.﹣4或2 D.无解 2.用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0 3.用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　） A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11 4.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 5.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 6.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 7.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 三、用待定系数法确定字母的取值范围 1.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 2.关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A.m＞2 B.m＞2且m≠3 C.m＜2 D.m＞3且m≠2 3.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 4.要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　   　． 5.要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠　    　． 6.若方程的解不大于13，求k的取值范围． 7.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围. 四、分式方程的增根 1.若解分式方程产生增根，则m的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣4 D.﹣5 2.下列判断正确的是（　　） A.解分式必定产生增根 B.若分式方程的根是零，则必定是增根 C.解分式方程必须验根 D.x=3是方程的根 3.分式方程-1=无解，则m的值为（　　） A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3 4.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 5.若关于x的方程﹣1=0无实数根，则a的值为　    　． 6.先仔细阅读（1）题，再解答（2）题． （1）a为何值时，方程会产生增根？ 解：方程两边同乘（x﹣3），得x=2（x﹣3）+a，① 因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得3=2×（3﹣3）+a，所以a=3. （2）当m为何值时，方程会产生增根？ 7.关于x的方程． （1）当a=3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 五、行程问题 1.小华早上从家里去离家5千米的学校，今天比昨天每小时快了1千米，结果比昨天早到了15分钟，设小华昨天每小时行x千米，可列方程（　　） A. B. C. D. 2.八年级学生去距学校11 km的科技馆参观，一部分学生骑自行车出发，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度，设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 3.甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两城驶向C城．已知A，C两城的距离为450千米，B，C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达C城．若设甲车的速度为x千米/小时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 4.九年级学生从学校出发，去相距10 km的博物馆参观，第一组学生骑自行车先走，过了20分钟后，第二组学生乘汽车出发，结果两组学生同时到达，第二组学生的速度是第一组学生速度的2倍．设第一组学生的速度为x km/h，则所列方程是　　       ． 5.货车行驶20千米与小汽车行驶30千米所用的时间相同．已知货车每小时比小汽车少行驶25千米，则两车的速度各是多少？ 设小汽车的速度为x千米/时，依题意列方程为                  . 6.某市为促进经济发展，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度． 7.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 六、工程问题 1.某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　） A. B. C. D. 2.某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 3.某市政公司修理一段6 000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工作效率比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成．求该公司完成这项工作的实际天数．设原来每天修x米，运用“计划天数﹣实际天数=5”构建分式方程，下列说法不正确的是（　　） A.原计划完工天数为 B.30天后剩下河岸还需天修完 C.实际天数为（﹣4） D.实际天数为（+30） 4.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程　　　　　　　. 5.在某新区建设中，需要修一段全长2 400 m的道路，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路x m，则根据题意可得方程　　           ． 6.七年（三）班开展“诵读经典，光亮人生”读书活动，小智和小惠同学读了同一本360页的名著，根据下面两个人的对话，求小惠每天读这本名著的页数． 7.某高速路线的一项工程由A，B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 七、其他（利润）问题 1.某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元购进第二批同款衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　） A.-10= B.+10= C.-10= D.-10= 2.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 3.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 4.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 5.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 6.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值． 7.近年来全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也逐步增大．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7 500元购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）经市场调查，当B型空气净化器的售价为1 800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3 200元，请问该商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ （3）已知A型空气净化器净化能力为340 m3/h，B型空气净化器净化能力为240 m3/h．某公司室内办公场地总面积为600 m2，室内墙高3.5 m．为保证员工健康，该公司计划购买15台空气净化器净化空气，每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，该公司至少要购买A型空气净化器多少台？ 北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假巩固（参考答案） 一、分式方程的一般解法 1.将分式方程去分母，整理后可得（　　） A.5x﹣1=0 B.5x+3=0 C.2x2+3x+1=0 D.2x2﹣3x﹣1=0 【答案】D 【解析】去分母，得2x（x+1）﹣2x=3x+1，整理得2x2﹣3x﹣1=0． 故选：D. 2.将分式方程去分母正确的是（　　） A.3+2x=1 B.3（2﹣4x）﹣2x（4x﹣2）=1 C.3（2﹣4x）+2x（4x﹣2）=4x﹣2 D.3+2x=4x﹣2 【答案】D 3.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，，且点A，B到原点的距离相等，则a的值为（　　） A.1 B. C.﹣1 D.不能确定 【答案】A 【解析】根据题意得=4， 去分母，得4a=8a﹣4， 移项、合并同类项得4a=4， 解得a=1， 经检验a=1是分式方程的解，则a的值为1． 故选：A. 4.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，则x=　      ． 【答案】2.5 【解析】根据题意得﹣3+=0， 去分母得﹣6+3x+1﹣x=0， 解得，x=2.5， 经检验，x=2.5是分式方程的解． 5.若分式与（x﹣4）互为倒数，则x=　    　． 【答案】2.5 【解析】∵分式与（x﹣4）互为倒数，∴×（x﹣4）=1， 方程两边同乘2（2x+1），得x﹣4=2（2x+1）， 解得x=﹣2． 检验：把x=﹣2代入2（2x+1）=﹣6≠0，即x=﹣2是原分式方程的解． 6.对于式子和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗?写出你的解题过程. 【答案】解：能. 根据题意，设=，则有2x+1=3(x-2)，解得x=7， 经检验，x=7是=的解. 所以当x=7时，式子和的值相等. 7.设A=，B=，当x为何值时，A与B的值相等? 【答案】解：当A=B时，即=， 方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得x(x+1)=3+(x+1)(x-1)， x2+x=3+x2-1， x=2. 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)=3≠0，∴x=2是分式方程的根， 因此，当x=2时，A=B. 二、用换元法解分式方程 1.已知方程，那么x2+x的值为（　　） A.﹣4 B.2 C.﹣4或2 D.无解 【答案】B 【解析】设x2+x=y，原方程变形为﹣y=2， 去分母，得y2+2y﹣8=0， 因式分解，得（y﹣2）（y+4）=0， y﹣2=0或y+4=0，解得y1=2，y2=﹣4， 当y=﹣4时，x2+x=﹣4无解，∴x2+x=2． 故选：B. 2.用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0 【答案】D 【解析】﹣+1=0， 设=y，则原方程化为y﹣+1=0， 去分母，得y2+y﹣3=0. 故选：D. 3.用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　） A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11 【答案】A 【解析】把代入原方程，得+3y=11． 方程两边同乘y，得3y2﹣11y+8=0． 故选：A. 4.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 【答案】y2﹣3y﹣2=0 【解析】根据题意得y﹣=3，去分母得y2﹣3y﹣2=0． 5.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 【答案】3y+= 6.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 【答案】解：（1）解是x1=c，x2=， 经检验，c和是原方程的解. （2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=， ∴x1=a，x2=1+=． 7.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 【答案】解：x2++x+=0， （x+）2+x+﹣2=0， 设x+=a，则原方程化为a2+a﹣2=0， 解得a=﹣2或a=1， 当a=﹣2时，x+=﹣2，x2+2x+1=0， 解得x=﹣1， 经检验x=﹣1是原方程的解； 当a=1时，x+=1，x2﹣x+1=0， 此方程无解； 综上所述，原方程的解为x=﹣1． 三、用待定系数法确定字母的取值范围 1.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 【答案】A 【解析】∵有理数m满足+2=0，∴=﹣2，∴m是负数，并且比﹣1小，∴B，C，D错误，A正确. 故选：A. 2.关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A.m＞2 B.m＞2且m≠3 C.m＜2 D.m＞3且m≠2 【答案】B 【解析】去分母，得m﹣3=x﹣1，解得x=m﹣2， 根据题意得m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得m＞2且m≠3． ∴m的取值范围为m＞2且m≠3. 故选：B. 3.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 【答案】C 【解析】方程两边都乘（x+5）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+5）=0， 化简，得2x=8， 解得x=4， 经检验，x=4是原分式方程的解. 故选：C. 4.要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　   　． 【答案】a＜﹣1且a≠﹣3 【解析】去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）=a，解得x=﹣； 因为解是正数，所以﹣＞0，即a＜﹣1； 又因为分式方程的分母不能为零，即﹣≠1且﹣≠﹣2，所以a≠±3； 则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3. 5.要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠　    　． 【答案】3 【解析】方程两边都乘（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）=m，解得x=6﹣m， ∵分式方程有唯一解，∴6﹣m﹣3≠0，即m≠3. 6.若方程的解不大于13，求k的取值范围． 【答案】解：去分母，得（x﹣5）2﹣（x﹣6）2=2x﹣11=k， 解得x=， 根据题意得≤13，且≠5，≠6， 解得k≤15，且k≠﹣1，k≠1． 7.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围. 【答案】解：方程两边同乘x+1，得a+2=x+1，解得x=a+1. 由即解得a≤-1且a≠-2. 四、分式方程的增根 1.若解分式方程产生增根，则m的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣4 D.﹣5 【答案】D 【解析】方程两边都乘（x+4），得x﹣1=m， ∵原方程增根为x=﹣4，∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5. 故选：D. 2.下列判断正确的是（　　） A.解分式必定产生增根 B.若分式方程的根是零，则必定是增根 C.解分式方程必须验根 D.x=3是方程的根 【答案】C 【解析】解分式方程可能产生增根，故A错误； 若分式方程的根是零，不一定是增根，故B错误； 解分式方程必须验根，故C正确； x=3是增根，分式方程无解，故D错误. 故选：C. 3.分式方程-1=无解，则m的值为（　　） A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3 【答案】D 【解析】解分式方程得x=m-2，因为分式方程无解，所以x=1或x=-2，即m=3或m=0， 但当m=0时，分式方程变为-1=0，此时x=-2不成立，前后矛盾，所以m=3. 故选：D. 4.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 【答案】﹣4或6或1 【解析】去分母得2x+4+kx=3x﹣6，即（k-1）x=-10， 当k=1时，方程化简得4=﹣6，无解，符合题意； 由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2， 把x=2代入整式方程得2(k-1)=-10，即k=﹣4； 把x=﹣2代入整式方程得﹣2(k-1)=-10，即k=6， ∴k的值为-4或6或1. 5.若关于x的方程﹣1=0无实数根，则a的值为　    　． 【答案】1或﹣1 【解析】方程去分母，得ax+1﹣x+1=0，即（a﹣1）x=﹣2， 当a﹣1=0，即a=1时，方程无解； 当a﹣1≠0，即a≠1时，将x=1代入得a﹣1=-2，解得a=﹣1， 综上所述，方程无实数根时a的值为1或﹣1． 6.先仔细阅读（1）题，再解答（2）题． （1）a为何值时，方程会产生增根？ 解：方程两边同乘（x﹣3），得x=2（x﹣3）+a，① 因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得3=2×（3﹣3）+a，所以a=3. （2）当m为何值时，方程会产生增根？ 【答案】解：方程两边同乘y（y﹣1），得y2﹣m2=（y﹣1）2， y2﹣m2=y2+1﹣2y， 2y﹣1=m2， 当y=0时，m2=﹣1，此时m无解； 当y=1时，m2=1，此时m=±1． 故当m=±1时，方程有增根． 7.关于x的方程． （1）当a=3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 【答案】解：（1）当a=3时，原方程为， 方程两边同乘（x﹣1），得3x+1+2=x﹣1，解得x=﹣2， 检验：将x=﹣2代入x﹣1=﹣2﹣1=﹣3≠0， ∴x=﹣2是原方程的解. （2）方程两边同乘（x﹣1），得ax+1+2=x﹣1， 若原方程有增根，则x﹣1=0，解得x=1， 将x=1代入整式方程得a+1+2=0，解得a=﹣3． 五、行程问题 1.小华早上从家里去离家5千米的学校，今天比昨天每小时快了1千米，结果比昨天早到了15分钟，设小华昨天每小时行x千米，可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】昨天所用的时间为小时，今天所用的时间为小时，所列方程为． 故选：B. 2.八年级学生去距学校11 km的科技馆参观，一部分学生骑自行车出发，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度，设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设骑车学生的速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h，由题意得． 故选：C. 3.甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两城驶向C城．已知A，C两城的距离为450千米，B，C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达C城．若设甲车的速度为x千米/小时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，根据题意得. 故选：D. 4.九年级学生从学校出发，去相距10 km的博物馆参观，第一组学生骑自行车先走，过了20分钟后，第二组学生乘汽车出发，结果两组学生同时到达，第二组学生的速度是第一组学生速度的2倍．设第一组学生的速度为x km/h，则所列方程是　　       ． 【答案】 【解析】设第一组学生的速度为x km/h，则第二组学生的速度为2x km/h，根据题意可列方程. 5.货车行驶20千米与小汽车行驶30千米所用的时间相同．已知货车每小时比小汽车少行驶25千米，则两车的速度各是多少？ 设小汽车的速度为x千米/时，依题意列方程为                  . 【答案】 【解析】设小汽车的速度为x千米/时，则货车的速度为（x﹣25）千米/时，根据题意可列方程. 6.某市为促进经济发展，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度． 【答案】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得，解得x=70， 经检验，x=70是原方程的解． ∴汽车原来的平均速度70 km/h． 7.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 【答案】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步， 根据题意得，解得x=30． 经检验，x=30是原方程的解． ∴小红每消耗1千卡能量需要行走30步. 六、工程问题 1.某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 2.某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 【答案】A 【解析】∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程， ∴可知在③应填入的内容为甲乙合作了4天. 故选：A. 3.某市政公司修理一段6 000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工作效率比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成．求该公司完成这项工作的实际天数．设原来每天修x米，运用“计划天数﹣实际天数=5”构建分式方程，下列说法不正确的是（　　） A.原计划完工天数为 B.30天后剩下河岸还需天修完 C.实际天数为（﹣4） D.实际天数为（+30） 【答案】C 【解析】设原来每天修x米，则原计划完工天数为，故A正确； ∵30天后每天修（1+20%）x=1.2x(米)，∴30天后剩下河岸还需天修完，故B正确； ∵工程恰好比原计划提前5天完成，∴实际天数为(﹣5)，故C错误； 或实际天数为（+30），故D正确. 故选：C. 4.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程　　　　　　　. 【答案】（或） 【解析】铺设120 m后，每天的工效为1.2x m，铺设120 m所用时间为天， 后来所用时间为天，因此可列方程.（或） 5.在某新区建设中，需要修一段全长2 400 m的道路，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路x m，则根据题意可得方程　　           ． 【答案】-=8 【解析】原计划用的时间为，实际用的时间为，列方程为-=8. 6.七年（三）班开展“诵读经典，光亮人生”读书活动，小智和小惠同学读了同一本360页的名著，根据下面两个人的对话，求小惠每天读这本名著的页数． 【答案】解：设小惠每天读这本名著的页数是x， 依题意得，解得x=30． 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意． ∴小惠每天读这本名著的页数是30． 7.某高速路线的一项工程由A，B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 【答案】解：（1）设A单独完成需要x天，则B单独完成需要1.5x天， 由题意得，解得x=200， 经检验，x=200是原方程的解． 则B单独完成需要200×1.5=300（天）． ∴A单独完成需要200天，则B单独完成需要300天． （2）A工程队需要费用为0.5×200+0.01×200=102（万元）； 设B工程队每天的施工费用为y万元，则300y+300×0.01≤102，解得y≤0.33， ∴B工程队每天的施工费最多为0.33万元． 七、其他（利润）问题 1.某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元购进第二批同款衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　） A.-10= B.+10= C.-10= D.-10= 【答案】B 2.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 3.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 【答案】B 【解析】设乙商品的单价是y元，则甲商品的单价为（1+20%）y元，依题意得， 解得y=2.5， 经检验，y=2.5是分式方程的解，且符合题意， ∴乙种商品单价是2.5元． 故选：B. 4.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 【答案】-= 【解析】周三买的牛奶的单价为，周日买的牛奶的单价为，所列方程为-=． 5.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 【答案】 6.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值． 【答案】解：问题1 设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元， 依题意得50x+50（x+10）=7 500，解得x=70， ∴x+10=80（元）， ∴A，B两款自行车的单价分别是70元和80元. 问题2 由题可得×1 000+×1 000=150 000，解得a=15， 经检验，a=15是所列方程的解， 故a的值为15． 7.近年来全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也逐步增大．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7 500元购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）经市场调查，当B型空气净化器的售价为1 800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3 200元，请问该商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？ （3）已知A型空气净化器净化能力为340 m3/h，B型空气净化器净化能力为240 m3/h．某公司室内办公场地总面积为600 m2，室内墙高3.5 m．为保证员工健康，该公司计划购买15台空气净化器净化空气，每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，该公司至少要购买A型空气净化器多少台？ 【答案】解：（1）设一台B型空气净化器的进价为x元，则一台A型空气净化器的进价为（x+300）元， 根据题意得解得x=1 200， 经检验，x=1 200是原方程的解， 当x=1 200时，x+300=1 500， 所以一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价分别为1 500元、1 200元. （2）设该商场应将B型空气净化器的售价定为a元， 根据题意得（a﹣1 200）（4+）=3 200， 整理得a2﹣3 200a+2 560 000=0，解得a1=a2=1 600， 所以该商场应将B型空气净化器的售价定为1 600元. （3）设该公司要购买A型空气净化器m台， 根据题意得[340m+240（15﹣m）]≥600×3.5，解得m≥6， 所以该公司至少要购买A型空气净化器6台． 学科网（北京）股份有限公司 $$