第5章 4 分式方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

参 考 答 案 3 分式的加减法 （第 1 课时） 1. 8 y 7b-4 a 2 2. x-y a 3. 10 3ab 7x 2-x 4. A 5. D 6. （ 1 ） x+6 x-3 （ 2 ） b b-a （ 3 ） m+1 m-1 （ 4 ） １ １-a 7. （ 1 ） -m-2 （ 2 ） 1 a-b （ 3 ） 1 x （ 4 ） -2 * 8. 解： 一样快 . 理由： 设甲地到乙地的距离为 s ， 在平地路上走时的平均速度为 v ， 则上山的平均速度为 1 2 v ， 下山 的平均速度为 2v ， 则在平地路上走的时间为 s v ， 在山路上走的时间为 1 3 s 1 2 v + 2 3 s 2v = s v ， 所以走山路与平地时间一样 . 9. 1 10. -x-2 11. 解： 原式 = a a+1 · （ a+1 ）（ a-1 ） a 2 + 1 a = a-1 a + 1 a = a a =1. 3 分式的加减法 （第 2 课时） 1. x 2 y 2 z 2. a-b abc 1 x+1 3. 1 12 4. D 5. B 6. （ 1 ） x+y x （ 2 ） - 2b a 7. （ 1 ） 3-x 2 （ x+3 ） （ 2 ） －2ab 8. 解： 原式 = x 2 +x-1 x+1 ， ∵x 2 -2=0 ， ∴x 2 =2. 原式 = 2+x-1 x+1 =1. 9. 解： 1 600 t-4 - 1 600 t = 1 600t-1 600 （ t-4 ） t （ t-4 ） = 6 400 t （ t-4 ） 或 6 400 t 2 -4t t " . 答： 略 . 10. 3 11. C 12. C 13. A 14. （ 1 ） 一 （ 2 ） 解： 原式 = a-b a ÷ a 2 -2ab+b 2 a = a-b a · a （ a-b ） 2 = 1 a-b . 15. 解： （ 1 ） 设种植 “丰收 2 号” 小麦的产粮量为 x kg ， 则 “丰收 1 号” 小麦的产粮量为 （ 1.2x-100 ） kg. 根据题 意， 得 x+1.2x-100＝1 000. 解得 x＝500. ∴ “丰收 1 号” 小麦试验田的产粮量为 1 000-500＝500 （ kg ） ． 答： 种植 “丰收 1 号” 小麦和 “丰收 2 号” 小麦两块试验田的产粮量都为 500 kg. （ 2 ） “丰收 1 号” 的单位面积产量为 500 a 2 -1 ， “丰收 2 号” 的单位面积产量为 500 （ a-1 ） 2 . ∵ 500 a 2 -1 - 500 （ a-1 ） 2 ＝ 500 ［（ a-1 ） - （ a+1 ）］ （ a+1 ）（ a-1 ） 2 ＝- 1 000 （ a+1 ）（ a-1 ） 2 ， （ a+1 ）（ a-1 ） 2 ＞0 ， ∴- 1 000 （ a+1 ）（ a-1 ） 2 ＜0. ∴ 500 a 2 -1 ＜ 500 （ a-1 ） 2 . ∴ “丰收 2 号” 小麦单位面积产量高 . 500 （ a-1 ） 2 ÷ 500 a 2 -1 ＝ 500 （ a-1 ） 2 × （ a-1 ）（ a+1 ） 500 ＝ a+1 a-1 . 答： “丰收 2 号” 小麦单位面积产量高， 高的单位面积产量是低的单位面积产量的 a+1 a-1 倍 ． 3 分式的加减法 （第 3 课时） 1. （ 1 ） 1 x+1 （ 2 ） 1-a a 2. 解： 原式 ＝ x 2 ， 答案不唯一， 为 x≠±1 ， 0 的任意实数 . 3. 解： 原式 = x-1 x+1 . 解不等式组 x+4>0 ， 2x+5<1 1 ， 得 -4<x<-2. ∵x 为整数， ∴x=-3. 当 x=-3 时， 原式 = -3-1 -3+1 =2. 4. 解 ： P= a （ b+1 ） +b （ a+1 ） （ a+1 ）（ b+1 ） ＝ 2ab+a+b ab+a+b+1 ， Q= b+1+a+1 （ a+1 ）（ b+1 ） = a+b+2 ab+a+b+1 ， 当 ab=1 时 ， P= 2+a+b a+b+2 =1 ， Q= 2+a+b a+b+2 =1 ， ∴P=Q. 5. 解： 已知等式变形得 x- 1 2 y=1 ， 即 2x-y=2. 原分式化简得 1 2x-y . ∴ 原式 = 1 2 . 6. 解： 由题意得， 涨价前疫苗的单价为 m n 元， 涨价后疫苗的单价为 m n-3 元， 则疫苗每支所涨的钱数为 m n-3 － m n = 3m n 2 -3n （元） . * 7. 解： 小芳的妈妈买的油平均每千克为 ax+ay a+a = x+y 2 （元）， 李阿姨买的油平均每千克为 2b÷ b x + b y t " = 2xy x+y （元）， ∵x≠y ， ∴ x+y 2 － 2xy x+y = （ x-y ） 2 2 （ x+y ） >0 ， ∴ 李阿姨的购买方式合算 . 8. 1 9. - 1 x 10. 解： （ 1 ） ③ （ 2 ） 原式 ＝ 2x （ x-2 ）（ x+2 ） - 1 x-2 = 2x （ x-2 ）（ x+2 ） - x+2 （ x-2 ）（ x+2 ） = 2x-x-2 （ x-2 ）（ x+2 ） = x-2 （ x-2 ）（ x+2 ） = 1 x+2 . 当 x= 3 时， 原式 = 1 5 . 11. 解： 原式 = x+1 x+1 + 2 x+1 t " · x+1 （ x+3 ）（ x-3 ） = x+3 x+1 · x+1 （ x+3 ）（ x-3 ） = 1 x-3 . 当 x= 3 姨 +3 时， 1 x-3 = 1 3 姨 +3-3 = 3 姨 3 . 12. 解： 原式 = a a-b · （ a-b ） 2 （ a+b ）（ a-b ） - a-b a+b = a a+b - a-b a+b = b a+b ， ∵b-2a=0 ， ∴b=2a. ∴ 原式 = 2a a+2a = 2 3 . 4 分式方程 （第 1 课时） 1. ①④ 2. 66 x+2 = 60 x 3. C 4. D 5. 200 x ＝ 300 x+10 . 6. 300 x -4= 480 2x . * 7. （ 1 ） x+ 20 x =9. （ 2 ） x+ n （ n+1 ） x =2n+1. 8. 28 x - 24.5 （ 1+0.25 ） x =3 9. D 4 分式方程 （第 2 课时） 1. x=－9 2. 3 3. m<2 且 m≠0 4. A 5. B 189 八年级下册 （北师大版）数学 6. （ 1 ） x=3 （ 2 ） m= 4 29 （ 3 ） x=－2 是增根， ∴ 原方程无解 . （ 4 ） x= 1 2 7. 解： 不正确 . 解方程应分类讨论 . 当 a= 1 3 时， 方程有增根 x=－1 ； 当 a=0 时， 2a-1 a 无意义 . ∴ 当 a≠ 1 3 且 a≠0 时， 原方程的解为 x= 2a-1 a . 8. 解： 设原计划每小时抢修的公路长为 x m ， 根据题意， 得 4 800 x = 4 800 （ 1+20% ） x +2 ， 解得 x=400. 经检验： x=400 是原 方程的解 . 答： 略 . * 9. 解： 3x-5 x-2 = 3x-5 8+x ， ∴3x-5=0 ， 解得 x= 5 3 . 经检验， x= 5 3 是方程的解 . 小红将方程两边约去 （ 3x－5 ） 时， 实质是在 方程两边同除以 0 ， 所以出现 8=－2 的错误结论 . 10. 解： （ 1 ） x 1 =5 ， x 2 = 2 5 . （ 2 ） ∵ 方程 x+ 3 x =7 解为 x 1 =a ， x 2 =b ， ∴a+b=7 ， ab=3. ∴a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab=49-6=43. * 11. 解： 两边都乘以 （ x-1 ）， 得 x-3=2m （ x-1 ） +m. 整理方程， 得 （ 2m-1 ） x=m-3． 当 x=1 时， 分式方程的分母 x-1=0 ， 即分式方程有增根， 此分式方程无解 ． 把 x=1 代入 （ 2m-1 ） x=m-3 ， 解得 m=-2． 当 2m-1=0 ， 即 m= 1 2 时， 方程 （ 2m-1 ） x= m-3 无解， ∴ 分式方程无解 ． 综上， 若分式方程无解， m 的值为 -2 或 1 2 ． 12. x=3 13. -1 14. 2 或 -1 15. D 16. B 17. 解： 方程两边都乘 （ x+2 ）（ x-2 ）， 得 3 （ x-2 ） + （ x+2 ）（ x-2 ） =x （ x+2 ） . 解这个方程， 得 x=10. 检验： 当 x=10 时， （ x+ 2 ）（ x-2 ） ≠0 （或将 x=10 代入原方程， 左边 = 5 4 ， 右边 = 5 4 ， 左边 = 右边） . 所以原方程的解为 x=10． 18. 解： 小丁和小迪的解法都不正确， 正确步骤如下： 两边同乘 （ x-2 ）， 去分母， 得 x+x-3＝x-2. 移项、 合并同类项， 得 x＝1. 检验， 将 x＝1 代入 （ x-2 ） 中， 1-2＝-1≠0 ， 则 x＝1 是分式方程的解， 故原分式方程的解是 x＝1． 4 分式方程 （第 3 课时） 1. 2 400 x = 1 500 x-9 2. B 3. 解： 设甲每分钟跳 x 次， 那么乙每分钟跳 （ x-20 ） 次 . 根据题意， 得 360 x = 360-40 x-20 . 解得 x=180. 经检验， x=180 是 所列方程的根 . 答： 甲每分钟跳 180 次 . 4. 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费用为 x 元， 则燃油车平均每公里的加油费为 （ x+0.45 ） 元 . 根据题意， 得 300 x =4× 300 x+0.45 ． 解得 x= 3 20 （或 x=0.15 ） ． 经检验， x= 3 20 是原方程的解 ． 答： 这款电动汽车平均每公里的充电费用为 3 20 元 ． 5. 解： 设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x kW · h ， 则一盏 A 型节能灯每年的用电量为 （ 2x-32 ） kW · h ， 根据题意， 得 16 000 2x-32 = 9 600 x . 解得 x=96. ∴2x-32=160. 答： 一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 kW · h. 6. 解： （ 1 ） 设商场第一次购进 x 套运动服， 由题意得 68 000 2x - 32 000 x =10. 解这个方程， 得 x=200. 经检验 x=200 是所 列方程的根 . 2x+x=600 （套） . 答： 购进这种运动服 600 套 . （ 2 ） 设每套运动服的售价为 y 元， 由题意得 600y-32 000-68 000 32 000+68 000 × 100%≥20%. 解这个不等式， 得 y≥200. 答： 每套售价至少是 200 元 . 7. 解： （ 1 ） 由图象可得， 甲车的速度为 280-120 2 =80 （ km/h ）， 即甲车的速度是 80 km/h. （ 2 ） 相遇时间为 280 80+60 =2 （ h ）， 由题意可得， 60×2 80 + 38 60 = 80×2 a . 解得 a=75. 经检验， a=75 是原分式方程的解， 即 a 的值是 75． 8. 解： （ 1 ） 设这项工程的规定时间为 x 天， 根据题意， 得 1 x + 1 3x x $ · 15+ 1 x · 10=1. 解得 x=30. 经检验， x=30 是原分 式方程的解 ． 答 ： 这项工程的规定时间是 30 天 ． （ 2 ） 设这项工程由甲 、 乙队合作完成 ， 所需的时间为 y 天 ， 则 1 30 + 1 3×30 0 & y=1. 解得 y=22.5. ∴ 该工程施工费用为 22.5× （ 6 500+3 500 ） =225 000 （元） ． 答： 该工程施工费用为 225 000 元 ． 9. 解： （ 1 ） 设人工每人每小时分拣 x 件， 则每台机器每小时分拣 20x 件 . 根据题意， 得 6 000 20x - 6 000 5×20x =4. 解得 x= 60. 经检验， x=60 是原分式方程的解 . 答： 人工每人每小时分拣 60 件 ． （ 2 ） 设需要安排 y 台分拣机， 根据题意， 得 16×20×60y≥100 000. 解得 y≥ 125 24 =5 5 24 . ∵y 为正整数， ∴y 的最小值为 6. 答： 至少需要安排 6 台这样的分拣机 ． 10. 解： 设 D 型车的平均速度是 x km/h ， 则 C 型车的平均速度是 3x km/h. 根据题意， 得 300 x - 300 3x =2. 解得 x=100. 经检验， x=100 是所列方程的解 ． 答： D 型车的平均速度是 100 km/h. 11. 解： （ 1 ） 设原计划每天铺设管道 x m ， 则实际每天铺设管道 （ 1+25% ） x m. 根据题意， 得 3 000 （ 1+25% ） x +15= 3 000 x . 解得 x=40. 经检验 x=40 是分式方程的解 . ∴1.25x=50. 答： 原计划与实际每天铺设管道分别为 40 m 、 50 m. （ 2 ） 设该公 司原计划应安排 y 名工人施工， 3 000÷40=75 （天） . 根据题意， 得 300×75y≤180 000. 解得 y≤8. ∴ 不等式的最大整数解 为 8. 答： 该公司原计划最多应安排 8 名工人施工 ． 12. 解： （ 1 ） 设航空模型的单价为 x 元， 则航海模型的单价为 （ x-35 ） 元 . 根据题意， 得 2 000 x = 1 800 x-35 · 4 5 ． 解得 x= 125. 经检验， x=125 是方程的解 . ∴x-35=125-35=90. 答： 航空模型的单价为 125 元， 航海模型的单价为 90 元 . （ 2 ） 设 购买航空模型 m 个， 学校花费 W 元， 则购买航海模型 （ 120-m ） 个 . ∵ 航空模型数量不少于航海模型数量的 1 2 ， 根据题 190 八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 解方程： 2x+2 x - x+2 x-2 = x 2 -2 x 2 -2x . 【分析】 方程两边都乘最简公分母 x 2 -2x ， 将分式方程转化为整式方程， 求出整式方程的 解， 经检验即可得到分式方程的解 ． 【解答】 方程两边都乘 x 2 -2x ， 得（ 2x+2 ）（ x-2 ） -x （ x+2 ） =x 2 -2． 解这个方程， 得 x=- 1 2 ． 检验： 将 x=- 1 2 代入原方程， 左边 =- 7 5 = 右边 ． 所以 x=- 1 2 是原方程的根 ． 【点拨】 本题应用转化思想， 通过去分母把分式方程转化为整式方程求解， 解分式方程 一定注意要验根 ． 基础巩固 达标闯关 1. 方程 3 2x = 1 x+3 的解是 . 2. 若分式 6 2x-3 的值是 2 ， 则 x 的值是 . 3. 关于 x 的方程 m x+2 =1 的解是负数， 则 m 的取值范围是 . 4. 分式方程 5 x-2 = 3 x 的解是 （ ） A. x=-3 B. x=2 C. x=3 D. x=-2 5. 若关于 x 的方程 x x-3 -2= m x-3 的增根是 x=3 ， 则 m 的值为 （ ） A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 6. 解下列各分式方程 . （ 1 ） 1 x-2 = 3 x . （ 2 ） 3m-4 2m - 6m+5 4m-1 =0. 4 分式方程 （第 2课时） 118 分式与分式方程 第五章 （ 3 ） x-2 x+2 -1= 16 x 2 -4 . （ 4 ） x 2 -x+1 x 2 -2x+1 ÷ x- 1 1-x x " +2=0. 能力提升 综合拓展 7. 小李在解关于 x 的分式方程 3a-1 x+1 =a （ a 可取任意实数） 时， 过程如下： 方程两边都乘 （ x+1 ）， 得 3a－1=a （ x+1 ）， 解得 x= 2a-1 a . 将 x 的解代入原方程中， 左边 = 右边， 所以 x= 2a-1 a 是原方程的解 . 你认为小李的解题过程正确吗？ 为什么？ 8. 某年我国多地出现洪涝灾害， 洪水毁坏了多条公路 . 一筑路工程队接受抢修路段长为 4 800 m 的国道任务， 为了保障灾区人民的物资供应， 该工程队加快了抢修进度， 实际工作 效率比原计划提高了 20% ， 结果提前 2 h 完成任务， 求原计划每小时抢修的公路长度 . 119 八年级下册 （北师大版）数学 * 9. 怎么能有 8=－2 的呢？ 小红边算边琢磨， 可是怎么也找不出原因来 . 下面是小红的解题过程： 解方程： 1 x-2 +3= 3x-5 8+x . 先把方程左边通分， 得 3x-5 x-2 = 3x-5 8+x ， 方程两边约去 3x－5 ， 得 1 x-2 = 1 8+x ， 即 x－2=x+8 ， 所以 8=－2. 同学们， 问题出在何处呢？ 请你帮助小红找出原因 . 10. 【阅读材料】 对于非零实数 a ， b ， 若关于 x 的分式 （ x-a ）（ x-b ） x 的值为零， 则解得 x 1 =a ， x 2 =b. 又因为 （ x-a ）（ x-b ） x =x+ ab x - （ a+b ）， 所以关于 x 的方程 x+ ab x =a+b 的解为 x 1 =a ， x 2 =b. 【理解应用】 （ 1 ） 根据阅读材料提供的信息， 直接写出分式方程 x 2 +2 x =5+ 2 5 的解 . 【知识迁移】 （ 2 ） 若关于 x 的方程 x+ 3 x =7 的解为 x 1 =a ， x 2 =b ， 求 a 2 +b 2 的值 . * 11. 若关于 x 的分式方程 x-3 x-1 =2m+ m x-1 无解， 求 m 的值 ． 120 分式与分式方程 第五章 中考链接 真题演练 12. （ 2024 ·辽宁） 方程 5 x+2 =1 的解为 ． 13. （ 2023 ·巴中） 关于 x 的分式方程 x+m x-2 + 1 2-x ＝3 有增根， 则 m＝ ． 14. （ 2024 ·达州） 若关于 x 的方程 3 x-2 - kx-1 x-2 =1 无解， 则 k 的值为 ． 15. （ 2023 ·上海） 在分式方程 2x-1 x 2 + x 2 2x-1 ＝5 中， 设 2x-1 x 2 ＝y ， 可得到关于 y 的整式方程 为 （ ） A． y 2 +5y+5＝0 B． y 2 -5y+5＝0 C． y 2 +5y+1＝0 D． y 2 -5y+1＝0 16. （ 2024 ·达州） 分式方程 2 x-1 =1- m x-1 的解为正数， 则 m 的取值范围为 （ ） A． m＞-3 B． m＞-3 且 m≠-2 C． m＜3 D． m＜3 且 m≠-2 17. （ 2024 ·福建） 解方程： 3 x+2 +1= x x-2 ． 18. （ 2023 ·舟山） 小丁和小迪分别解方程 x x-2 - x-3 2-x ＝1 的过程如下： 你认为小丁和小迪的解法是否正确？ 若正确， 请在框内画 “ √ ”； 若错误， 请在框内画 “ × ”， 并写出你的解答过程 ． 小丁： 解： 去分母， 得 x- （ x-3 ） =x-2. 去括号， 得 x-x+3=x-2. 合并同类项， 得 3=x-2. 解得 x=5. ∴ 原方程的解是 x=5. 小迪： 解： 去分母， 得 x+ （ x-3 ） =1. 去括号， 得 x+x-3=1. 合并同类项， 得 2x-3=1. 解得 x=2. 经检验， x=2 是方程的增根， 原方程无解 . 121