16.1 分式及其基本性质 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 一、分式有（无）意义的条件 1.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.任意实数 B.x＞2 C.x≠2 D.x≠0 2.如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x＝1 D.x＞1 3.要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A.x≠2 B.x≠3 C.x≠2或x≠3 D.x≠2且x≠3 4.使分式有意义的x的取值范围是 　  　． 5.若分式有意义，则a的取值范围是         ． 6.小明问小华：“当x为何值时，分式无意义？”，小华回答说：“因为，由于x＋2＝0，得x＝﹣2时，分式无意义”，小华的回答中有错误，请指出错误，并说明错误原因及正确结果． 7.在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义？” 小明的做法是：先化简＝＝，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2； 小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2． 如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见． 二、分式值为零的条件 1.若＝0，则x的值等于（　　） A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定 2.当分式的值为0时，x的值为（　　） A.0 B.3 C.﹣3 D.±3 3.对于分式，当x＝a时（　　） A.分式值为0 B.若a≠，分式值为0 C.分式无意义 D.若a＝﹣，分式无意义 4.当x＝　       　时，分式的值等于零． 5.当m＝　  　时，分式的值为零． 6.x取何值时，分式. （1）无意义； （2）值为零． 7.要使分式的值为零，x和y的取值范围是什么？ 三、分式的基本性质 1.小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A.x2﹣2x＋1 B.x2＋2x＋1 C.x2﹣1 D.x2﹣2x﹣1 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列式子中①；②；③；④中，正确的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①②③ D.只有④ 4.已知：3，则分式　　． 5.等式成立的条件是              ． 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 四、约分与最简分式 1.若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A.2x B.x C.4x﹣x2 D.x2 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 3.将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A.5m B.5mx C.mx D.5mx2 4.有分别写有x，x＋1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有　   　的卡片． 5.约分： （1）定义：把一个分式的分子和分母的　        　约去，这种变形称为分式的约分． （2）依据：　              　． （3）关键：找出分子、分母的　          　． （4）对结果的要求：最简分式（分子和分母中没有　         　）或者整式． 6.同学们，还记得卡牌系列游戏吗？如图所示： 游戏二： （1）从中选择两张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成一个“分式”，要求这个“分式”可以约分，并将其化为最简分式或整式； （2）从中选择四张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成两个“分式”，并将这两个“分式”通分． 7.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④. （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简÷时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式＝×； 小强：原式＝×． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　                 　，请你接着小强的方法完成化简． 五、最简公分母 1.分式，，的最简公分母是（　　） A.a4＋2a2＋1 B.（a2﹣1）（a2＋1） C.a4﹣2a2＋1 D.（a﹣1）4 2.对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 3.下列各题中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.最简公分母是6x2 B.的最简公分母是3a2b3c C.的最简公分母是m2﹣n2 D.的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 4.分式，的最简公分母为            . 5.分式与的最简公分母是            . 6.写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 六、通分 1.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 4.约分的关键是确定分式的分子与分母的　           　，通分的关键是确定n个分式的　                       　． 5.分式与通分后的结果是　             与                　． 6.通分：（n≠0）；（x≠﹣5） 7.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固（参考答案） 一、分式有（无）意义的条件 1.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.任意实数 B.x＞2 C.x≠2 D.x≠0 【答案】C 【解析】由题意可得：x﹣2≠0，解得：x≠2. 故选：C． 2.如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x＝1 D.x＞1 【答案】B 【解析】∵分式有意义，∴x－1≠0，解得：x≠1． 故选：B． 3.要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A.x≠2 B.x≠3 C.x≠2或x≠3 D.x≠2且x≠3 【答案】D 【解析】由题意可知：（x﹣2）（x﹣3）≠0，∴x≠2且x≠3． 故选：D． 4.使分式有意义的x的取值范围是 　  　． 【答案】x≠2024 【解析】要使分式有意义，则x﹣2024≠0，即x≠2024． 5.若分式有意义，则a的取值范围是         ． 【答案】a≠1 【解析】分式有意义，则a－1≠0，则a的取值范围是：a≠1． 6.小明问小华：“当x为何值时，分式无意义？”，小华回答说：“因为，由于x＋2＝0，得x＝﹣2时，分式无意义”，小华的回答中有错误，请指出错误，并说明错误原因及正确结果． 【答案】解：小华的回答中有错误，分式有无意义，需要在化简前分析， 即分式无意义，x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2． 7.在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义？” 小明的做法是：先化简＝＝，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2； 小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2． 如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见． 【答案】解：因为当分母不为0时，分式有意义． 小明的做法错误在于他先把分式约分， 使原来的分式中字母x的取值范围缩小了． 小丽的做法正确． 二、分式值为零的条件 1.若＝0，则x的值等于（　　） A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定 【答案】B 【解析】由题意得：（x＋3）（x﹣2）＝0，且x﹣2≠0，解得：x＝﹣3. 故选：B． 2.当分式的值为0时，x的值为（　　） A.0 B.3 C.﹣3 D.±3 【答案】B 【解析】，解得，x＝3. 故选：B． 3.对于分式，当x＝a时（　　） A.分式值为0 B.若a≠，分式值为0 C.分式无意义 D.若a＝﹣，分式无意义 【答案】B 【解析】当x﹣a＝0，并且3x﹣2≠0时，分式的值为0． 故选：B． 4.当x＝　       　时，分式的值等于零． 【答案】－2 【解析】∵分式的值等于零，∴，∴，∴y＝﹣2． 5.当m＝　  　时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】∵（m﹣1）（m﹣3）＝0，∴m＝1或m＝3， 当m＝1时，m2﹣3m＋2＝0， 当m＝3时，m2﹣3m＋2≠0， ∴当m＝3时，分式的值为零． 6.x取何值时，分式. （1）无意义； （2）值为零． 【答案】解：（1）∵分式无意义， ∴（x﹣3）（x＋1）＝0，解得x＝3或x＝﹣1. （2）∵分式的值为0，∴，解得x＝1． 7.要使分式的值为零，x和y的取值范围是什么？ 【答案】解：因为＝0，所以x＋1＝0且x2﹣y2≠0，所以x＝﹣1，且y≠±1． 三、分式的基本性质 1.小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A.x2﹣2x＋1 B.x2＋2x＋1 C.x2﹣1 D.x2﹣2x﹣1 【答案】B 【解析】∵，∴， 故*部分的式子应该是x2＋2x＋1． 故选：B． 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.（a≠0），正确； D.，故本选项错误. 故选：C． 3.下列式子中①；②；③；④中，正确的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①②③ D.只有④ 【答案】B 【解析】①中，﹣，故符合题意； ②中，，故不符合题意； ③中，﹣，故符合题意； ④中，，故符合题意，正确的有①③④. 故选：B． 4.已知：3，则分式　　． 【答案】 【解析】由已知：3，得到a﹣b＝﹣3ab， ∴． 5.等式成立的条件是              ． 【答案】x≠2且x≠3 【解析】等式成立的条件是：x≠2且x≠3． 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 【答案】解：设A， ∴a﹣3， ∵A， ∴a为最小值时A最小，a为最大值时A最大， ∴a是正整数， ∴当26﹣b＝20时，a取最小值，此时Amin＝＝， 当26﹣b＝1时，a取最大值，此时Amax＝＝15， ∴Amax﹣Amin＝15﹣＝． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 【答案】解：例如：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，有， 则（1）； （2）； （3）， 观察发现各组中的两个分式相等． 现选择第（2）组进行说明证明． 已知a，b，c，d都不等于0，并且，所以有：11，所以有：． 四、约分与最简分式 1.若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A.2x B.x C.4x﹣x2 D.x2 【答案】B 【解析】A、原式＝﹣2，不符合题意； B、原式＝，符合题意； C、原式＝＝x﹣2，不符合题意； D、原式＝＝﹣＝﹣（x＋2）＝﹣x﹣2，不符合题意． 故选：B． 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 【答案】B 【解析】（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确； （2）当x＝﹣1时，分式无意义，错误； （3）是最简分式，正确； （4）当x＝2时，分式的值为0，错误； （5），分式的值是原来的2倍，正确，所以他的得分是60分． 故选：B． 3.将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A.5m B.5mx C.mx D.5mx2 【答案】D 【解析】因为，所以将分式约分时，分子分母同时除以5mx2． 故选：D． 4.有分别写有x，x＋1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有　   　的卡片． 【答案】x 【解析】∵，， ∴，都不是最简分式，无法化简，是最简分式， 故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片． 5.约分： （1）定义：把一个分式的分子和分母的　        　约去，这种变形称为分式的约分． （2）依据：　              　． （3）关键：找出分子、分母的　          　． （4）对结果的要求：最简分式（分子和分母中没有　         　）或者整式． 【答案】（1）公因式 （2）分式的基本性质 （3）公因式 （4）公因式 【解析】（1）定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）依据：分式的基本性质． （3）关键：找出分子、分母的公因式． （4）对结果的要求：最简分式（分子和分母中没有公因式）或者整式． 6.同学们，还记得卡牌系列游戏吗？如图所示： 游戏二： （1）从中选择两张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成一个“分式”，要求这个“分式”可以约分，并将其化为最简分式或整式； （2）从中选择四张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成两个“分式”，并将这两个“分式”通分． 【答案】解：（1）（答案不唯一）如：＝x＋2. （2）（答案不唯一）如：和， ， ． 7.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④. （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简÷时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式＝×； 小强：原式＝×． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　                 　，请你接着小强的方法完成化简． 【答案】解：（1）不符合和谐分式的定义，故①不是和谐分式， ，故②是和谐分式， ，故③不是和谐分式， ，故④不是和谐分式. （2）∵分式为和谐分式，且a为整数， ∴a＝10，a＝6，a＝﹣6. （3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分找的是最简公分母， 小强：原式＝×． 五、最简公分母 1.分式，，的最简公分母是（　　） A.a4＋2a2＋1 B.（a2﹣1）（a2＋1） C.a4﹣2a2＋1 D.（a﹣1）4 【答案】C 【解析】分式，，的分母分别是a2﹣2a＋1＝（a﹣1）2，a2﹣1＝（a＋1）（a﹣1），a2＋2a＋1＝（a＋1）2， 故最简公分母是（a＋1）2（a﹣1）2＝a4﹣2a2＋1． 故选：C． 2.对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 【答案】C 【解析】最简公分母是：4xy． 故选：C． 3.下列各题中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.最简公分母是6x2 B.的最简公分母是3a2b3c C.的最简公分母是m2﹣n2 D.的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 【答案】D 【解析】D中中字母最高次幂的积为一次，所以最简公分母是ab（x﹣y）. 故选：D． 4.分式，的最简公分母为            . 【答案】3（x－1）（x＋1） 【解析】分式，的分母分别是3（x－1），（x＋1），故最简公分母是3（x－1）（x＋1）. 5.分式与的最简公分母是            . 【答案】（x－2）（x－1）（x＋6） 【解析】分式与的最简公分母是（x－2）（x－1）（x＋6）． 6.写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a． 【答案】解：根据题意，两个分式可以为：和．本题答案不唯一． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 【答案】解：（1）①； 由题意可得：最简公分母为：30a2b3c2， 则. ② 由题意可得：最简公分母为：3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 则， ， . ③， 由题意可得：最简公分母为：a（a﹣b）（a＋b）， 则， . （2）3，2，5的最小公倍数是30，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为a2b3c2． （3）分母若是多项式，先分解因式，再通分． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是a（a﹣b）（a＋b）． 六、通分 1.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两分式的最简公分母为3a2b2， A、通分后分母不相同，不符合题意； B、符合题意； C、通分后分母不相同，不符合题意； D、通分后分母不相同，不符合题意. 故选：B． 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的最简公分母为12a2b2c， ∴分式通分的结果为． 故选：A． 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 【答案】D 【解析】A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2，正确； B、通分正确； C、通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4. 故选：D． 4.约分的关键是确定分式的分子与分母的　           　，通分的关键是确定n个分式的　                       　． 【答案】公因式 最简公分母 【解析】约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，所以约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式；把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母． 5.分式与通分后的结果是　             与                　． 【答案】 【解析】∵x2﹣3x＝x（x﹣3），x2﹣9＝（x﹣3）（x＋3）， ∴分式 分式． 6.通分：（n≠0）；（x≠﹣5） 【答案】解：将的分子分母同时乘以x得到：． 将的分子分母同时乘以n（n≠0）得到：. 将的分子分母同时乘以（x＋5）得到：． 7.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 【答案】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质2） 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.（或等式的性质1） 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质） 任务二：①a＝2，b＝5，c＝4，d＝10；（答案不唯一）． ②计算：，；（答案不唯一）． ③猜想：若则． ④证明：∵ ∴ad＝bc， ∵ ＝ ＝ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$