第2章 对称图形—圆 暑期单元练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第2章 对称图形—圆 暑期精练 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，若∠C＝70°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．如图，AB是⊙O的直径，AD，CD，BC是弦，若∠C＝30°，AB＝2，则弦AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接AB，BC，若∠ABD＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．30° C．25° D．15° 第1题 第2题 第3题 第4题 4．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径与母线长之比为（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 5．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 6．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，弦，则劣弧CD的长为（　　） A． B．π C．2π D．4π 第6题 第7题 第8题 第9题 7．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．将⊙O的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段AB上（不与A，B重合），则∠BDC的度数可能为（　　） A．60° B．54° C．50° D．110° 9．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝36°，则∠OBC的度数为（　　） A．20° B．18° C．16° D．15° 第10题 第11题 第13题 第14题 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 11．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为　 　 ． 12．若用圆心角为90°且半径为10的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　 　 ． 13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 　 　 ． 14．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为　 　 ． 15．如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到BC，则的长为 　 　 （结果保留π）． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 　 　 ． 第15题 第16题 第17题 第18题 17．如图，⊙O的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB：BC：CD＝3：4：5，周长为32，则AD＝　 　 ． 18．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 20．本小题分)如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD＝2米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题： （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数） 21．本小题分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线垂直于点D，与⊙O交于点E，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若BE＝8，DE＝3，求⊙O的半径． 22．本小题分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E． （1）求证：BC＝BD． （2）若OB＝OA，AE＝2，求图中阴影部分的面积． 23．本小题2分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长． 24．本小题分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC＝105°，AB＝8cm，求： （1）∠IBA和∠A的度数； （2）BC和AC的长； （3）内切圆⊙I的半径和BI的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 5页） 第 2章 对称图形—圆 暑期精练 （考试时间为 90 分钟，满分为 100 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 2 分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，若∠C＝70°，则∠D的度数为（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．如图，AB是⊙O的直径，AD，CD，BC是弦，若∠C＝30°，AB＝2，则弦 AD的长是（ ） A．3 B．2 3 C． 2 D． 3 3．如图，点 A，B，C在⊙O上，过点 B作⊙O的切线，交 CA的延长线于点 D，连接 AB，BC，若∠ABD ＝40°，则∠ACB的度数为（ ） A．40° B．30° C．25° D．15° 第 1题 第 2题 第 3题 第 4题 4．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径与母线长之比为（ ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 5．已知矩形 ABCD的顶点 B，C在半径为 5 的半圆 O上，顶点 A，D在直径 EF上．若 ED＝2，则矩形 ABCD的面积等于（ ） A．22 B．23 C．24 D．25 6．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，弦�� = 4 2，则劣弧 CD的长为（ ） A． � 2 B．π C．2π D．4π 第 6题 第 7题 第 8题 第 9题 7．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（ ） 第 2页（共 5页） A．7 B．8 C．9 D．10 8．将⊙O的圆周 10等分，如图点 A、B、C是等分点，点 D在线段 AB上（不与 A，B重合），则∠BDC 的度数可能为（ ） A．60° B．54° C．50° D．110° 9．如图，将 Rt△ABC以点 A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点 B的对应点 D恰为 BC边的中点，若 AB ＝1，则��的长为（ ） A． � 3 B． � 6 C． 3� 3 D． 3� 6 10．如图，点 O是△ABC的外心，点 I是△ABC的内心，连接 OB，IA．若∠CAI＝36°，则∠OBC的度 数为（ ） A．20° B．18° C．16° D．15° 第 10题 第 11题 第 13题 第 14题 二、填空题：本题共 8小题，每小题 2 分，共 16 分。 11．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为 ． 12．若用圆心角为 90°且半径为 10的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ． 13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 ． 14．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边 PA、PB分别相切于点 A、B，不倒翁的鼻尖正 好是圆心 O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为 ． 15．如图，边长均为 6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点 A为圆心，AB长为半径画弧，得到 BC， 则��的长为 （结果保留π）． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 ． 第 15 题 第 16 题 第 17 题 第 18 题 第 3页（共 5页） 17．如图，⊙O的外切四边形 ABCD中相邻的三条边 AB：BC：CD＝3：4：5，周长为 32，则 AD＝ ． 18．如图，正六边形 ABCDEF的边长为 4，中心为点 O，以点 O为圆心，以 AB长为半径作圆心角为 120° 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题：本题共 6小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题��分)如图，△ABC的顶点 A，C在⊙O上，圆心 O在边 AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O 相切于点 C，连接 OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 20．(本小题��分)如图 1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设 置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图 2所示，相关信息如下： 信息二：点 O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦 AB的中点，连接 OD并延长， 交劣弧 AB于点 C，CD＝2米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘 1米，以 O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解 答下列问题： （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔 1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取 3.14，结果保留整 数） 第 4页（共 5页） 21．(本小题��分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点 C的切线垂直于点 D，与⊙O 交于点 E，连接 BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若 BE＝8，DE＝3，求⊙O的半径． 22．(本小题��分)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为 AC边上一点，连结 OB．以 OC为半径的半 圆与 AB边相切于点 D，交 AC边于点 E． （1）求证：BC＝BD． （2）若 OB＝OA，AE＝2，求图中阴影部分的面积． 第 5页（共 5页） 23．(本小题�2 分)如图，AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点 D，过点 D作 DE ∥AB，交 CB的延长线于点 E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若 AC＝12，BC＝5，求 CD的长． 24．(本小题��分)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与 BC相切于点 D，∠BIC＝105°， AB＝8cm，求： （1）∠IBA和∠A的度数； （2）BC和 AC的长； （3）内切圆⊙I的半径和 BI的长． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D C C D A C B 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，若∠C＝70°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【解答】解：连接BD，设AB与CD相交于点E， ∵直径AB⊥CD， ∴∠CEB＝∠DEB＝90°，， ∴∠ABC＝∠ABD， ∵∠C＝70°， ∴∠ABC＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠ABC＝∠ABD＝20°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝40°， ∴∠CDO＝90°﹣∠AOD＝50°， 故选：C． 2．如图，AB是⊙O的直径，AD，CD，BC是弦，若∠C＝30°，AB＝2，则弦AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵AB＝2， ∴BDAB＝1，ADBD， 故选：D． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接AB，BC，若∠ABD＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．30° C．25° D．15° 【解答】解：点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，∠ABD＝40°，如图，连接OB，OA， ∴BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OBA＝∠OBD﹣∠ABD＝50°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝80°， ∴， 故选：A． 4．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径与母线长之比为（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 依题意，得2πr， 解得r：l＝1：3． 故选：D． 5．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【解答】解：连接OC，OB， ∵点C在半径为5的半圆O上， ∴OC＝OE＝5， ∵ED＝2， ∴OD＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB， ∴， ∵OC＝OB， ∴Rt△CDO≌Rt△BAO， ∴AO＝DO＝3， ∴AD＝6， ∴矩形ABCD的面积为4×6＝24， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，弦，则劣弧CD的长为（　　） A． B．π C．2π D．4π 【解答】解：连接OC，OD， ∵OC＝OD＝4，CD＝4， ∴OC2+OD2＝CD2， ∴∠COD＝90°， ∴劣弧CD的长为2π． 故选：C． 7．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵若∠ACB＝18°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝36°，即36°， ∴n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， 即这个正多边形是正十边形， 故选：D． 8．将⊙O的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段AB上（不与A，B重合），则∠BDC的度数可能为（　　） A．60° B．54° C．50° D．110° 【解答】解：将⊙O的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，连接OA，OB，OC， ∴，， ∴，， ∵∠BDC＞∠A，∠BDC+∠ABC＜180°， ∴∠BDC＞54°，∠BDC+72°＜180°， ∴54°＜∠BDC＜108°， ∴∠BDC的度数可能为60°， 故选：A． 9．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝2AD＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴2π． 故选：C． 10．如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝36°，则∠OBC的度数为（　　） A．20° B．18° C．16° D．15° 【解答】解：连接OC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OC＝OB， ∵点I是△ABC的内心，∠CAI＝36°， ∴AI平分∠BAC， ∴∠BAI＝∠CAI， ∴∠BAC＝2∠CAI＝72°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝144°， ∵∠OCB＝∠OBC，且∠OCB+∠OBC+∠BOC＝180°， ∴2∠OBC+144°＝180°， ∴∠OBC＝18°， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为　100°　 ． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故答案为：100°． 12．若用圆心角为90°且半径为10的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　2.5　 ． 【解答】解：由弧长公式可得：90π×10÷180°＝5π， 圆锥的底面半径：5π÷2π＝2.5． 故答案为：2.5． 13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 　28°　 ． 【解答】解：连接AD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABD＝62°， ∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°， ∴∠C＝∠D＝28°， 故答案为：28°． 14．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为　56°　 ． 【解答】解：连接OB， ∵边PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝28°， ∴∠PAB＝90°﹣∠OAB＝62°，∠PBA＝90°﹣∠OBA＝62°， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝56°， 故答案为：56°． 15．如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到BC，则的长为 　　 （结果保留π）． 【解答】解：∵∠BAD和∠CAD分别是正六边形和正五边形的内角，且正六边形和正五边形的边长均为6， ∴∠BAD（6﹣2）×180°＝120°，∠BAD（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AC＝6， ∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°， ∵是以顶点A为圆心，AB长为半径画弧， ∴， 故答案为：． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 　128°　 ． 【解答】解：∵∠DCE＝64°， ∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝116°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝64°， 由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝128°， 故答案为：128°． 17．如图，⊙O的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB：BC：CD＝3：4：5，周长为32，则AD＝　8　 ． 【解答】解：∵相邻的三条边AB：BC：CD＝3：4：5， ∴设此三边为3x，4x，5x， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为3x+5x﹣4x＝4x， ∵圆外切四边形的周长为32， ∴3x+5x+4x+4x＝16x＝32， ∴x＝2， ∴AD＝8． 故答案为：8． 18．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF，，∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM， ∴S△OAF， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE， ∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF ， 答案为：． 三．解答题（共6小题） 19．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 【解答】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°； （2）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC． 20．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD＝2米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题： （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数） 【解答】解：（1）连接OA，设喷泉的半径为r，则：OA＝OC＝r， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 由条件可知OC平分弦AB，， ∴OC⊥AB， ∴OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， ∴r＝5米； 答：喷泉的半径为5米； （2）由题意得：R＝6米， 2×6×3.14÷1.5≈25（盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线垂直于点D，与⊙O交于点E，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若BE＝8，DE＝3，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接OC交BE于F， ∵DC是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠DAB； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴四边形DEFC为矩形，BF＝FEBE＝4， ∴CF＝DE＝3， 在Rt△BOF中，OB2＝BF2+OF2，即OB2＝42+（OB﹣3）2， 解得：OB，即⊙O的半径为． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E． （1）求证：BC＝BD． （2）若OB＝OA，AE＝2，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴BC与以OC为半径的半圆相切于C， ∵以OC为半径的半圆与AB边相切于点D， ∴BC＝BD； （2）解：如图，连接OD， ∵BC、BD与以OC为半径的半圆相切， ∴∠OBC＝∠OBD， ∵OB＝OA， ∴∠A＝∠OBD， ∴∠OBC＝∠OBD＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝30°， ∴OA＝2OD，∠DOE＝90°﹣30°＝60°， ∵AE＝2， ∴OD＝2，OA＝4， ∴AD2， ∴阴影部分的面积为：2×22． 23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AC＝12，BC＝5， ∴AB13，∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BDAB， 过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠BCDACB＝45°， ∴BH＝CHBC， ∴DH6， ∴CD＝CH+DH． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC＝105°，AB＝8cm，求： （1）∠IBA和∠A的度数； （2）BC和AC的长； （3）内切圆⊙I的半径和BI的长． 【解答】解：（1）∵⊙I是△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，∠BIC＝105°， ∴∠ICB＝∠ICA∠ACB＝45°，∠IBC＝∠IBA∠ABC， ∴∠IBC＝∠IBA＝180°﹣∠ICB﹣∠BIC＝30°， ∴∠ABC＝2∠IBC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠IBA和∠A的度数都是30°． （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm， ∴BCAB＝4cm， ∴AC4（cm）， ∴BC和AC的长分别为4cm和4cm． （3）连接ID， ∵△ABC的内切圆⊙I与BC相切于点D， ∴BC⊥ID， ∴∠IDC＝∠IDB＝90°， 由（1）得∠ICB＝45°，∠IBC＝30°， ∴∠DIC＝∠ICB＝45°， ∴CD＝ID，BI＝2ID， ∴BDID， ∵BD+CD＝BC， ∴ID+ID＝4， 解得ID＝22， ∴BI＝2×（22）＝（44）cm， ∴内切圆⊙I的半径和BI的长分别为（22）cm和（44）cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/23 16:33:17；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$