第07讲： 直线的方程【十大题型】-2025年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第07讲 直线的方程 【知识梳理】 【知识梳理】 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 题型二：直线的两点式方程 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 6．（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 题型三：直线的截距式方程 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 题型四、直线的一般式方程 10．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以直线l：的斜率为， 则，解得. 故选：A. 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截距的定义，可得所求直线与轴的交点，根据直线求得倾斜角，通过斜率定义，可得答案. 【详解】由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，解得； 由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得， 设直线的倾斜角为，斜率为， 由，则， 由，则，解得. 故选：A. 12．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 题型五：用合适的方法求直线方程 13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 14．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【分析】（1）首先根据题意得到直线的斜率为，再利用点斜式求出直线方程即可. （2）首先求出线段AB垂直平分线的方程为，设出，根据得到或，再求直线方程即可. （3）分类讨论直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】（1）因为，所以直线的斜率为， 则直线：，即. （2）的中点坐标为，因为， 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为， 且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为， 即，所以点在直线上， 设点，由可得：， 解得或，所以点坐标为或， 当坐标为时，，直线：，即. 当坐标为时，，直线：， 即. （3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为， 因为过，得到，解得，所求直线方程为，即． ②当直线不过原点时，设其方程， 又经过点，有，解得，则方程为，即． 故所求直线的方程为，或． 题型六：一般式下直线的平行与垂直的问题 16．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 17．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 18．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 题型七：由两条直线平行或垂直求直线方程 19．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 20．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 21．（24-25高二上·四川·期中）已知在中，，分别在线段上，且． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的斜率和垂直关系可得边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可. （2）先由题意得，即为的中点，接着由中点坐标公式、直线的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线的方程，再转化成一般式即可. 【详解】（1）由题直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为， 化为斜截式为. （2）因为的面积为面积的分别在线段上，且， 所以为的中点，即， 又直线的斜率为， 所以直线的斜率也为， 所以直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 题型八：直线和坐标轴围成的面积问题 22．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 23．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【详解】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 24．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 题型九：直线过定点问题 25．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【答案】 【分析】提取，通过方程组即可得定点坐标. 【详解】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 26．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【分析】把直线方程整理成关于参数的恒等式，再由恒等式知识求解． 【详解】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 27．（24-25高二上·重庆渝中·期中）当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 【答案】 【分析】根据动直线恒过定点知距离最大时直线，利用斜率的关系列方程，求解即可. 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 题型十：直线方程的综合问题 28．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)存在，，面积取得最小值8. 【分析】（1）法一：直线化为，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点； （2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m的表达式，进而求最值. 【详解】（1）法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点且与直线平行的直线方程是 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．，，三点共线 【答案】C 【分析】A设所求直线为，代入点求参数即可判断；B根据斜率写出一个方向向量，判断两个向量是否平行即可；C注意直线过原点的情况；D利用两点式求斜率，判断是否相等即可. 【详解】A：令过点且与直线平行的直线为， 则，故所求直线为，对； B：直线的斜率为，则一个方向向量为， 显然与向量平行，故向量也是一个方向向量，对； C：当直线过原点时，直线方程为，错； D：由，故三点共线，对. 故选：C 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或. 显然是的真子集， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高三上·四川·期中）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意且关于对称，设结合已知求点坐标，进而求参数，即可得直线方程. 【详解】由题意知，可设且， 又对角线的交点为，关于对称，则， 由点在直线上，故， 所以. 故选：A 6．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 【答案】D 【分析】时，直线的斜率不存在，可判断A；求出直线所过定点的坐标，可判断B； 根据两直线平行的充要条件求出实数的值，可判断C；根据两直线垂直的充要条件求出的值，可判断D. 【详解】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，， 当，可得， 所以直线过定点，故B错误； 对于C选项，当时，或， 解得，故C错误； 对于D选项，当时，，解得或，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高二上·四川巴中·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 9．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 10．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【答案】BC 【分析】A选项根据斜截式方程的形式判断，BC选项根据两条直线的平行垂直的关系求解，D选项直接代入检验即可. 【详解】A选项，根据斜截式方程的定义，直线的斜截式方程是：，A选项错误； B选项，直线化为，与斜率一样，且，则两条直线平行，B选项正确； C选项，直线的斜率是，斜率为，且，于是两直线垂直，C选项正确； D选项，代入，直线不过点，D选项错误. 故选：BC 11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高二上·福建莆田·期中）下列说法的正确的是（   ） A．经过定点的直线的方程都可以表示为 B．方程能表示平行轴的直线 C．不经过原点的直线的方程都可以表示为 D．经过任意两个不同的点、直线方程都可表示为 【答案】BD 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取可判断B选项；取直线方程或，可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，经过定点的直线且倾斜角为的直线的斜率不存在， 不能用方程来表示，A错； 对于B选项，当时，直线方程为，该直线平行于轴，B对； 对于C选项，不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如或，C错； 对于D选项，当直线的斜率存在且不为零时， 直线的两点式方程为，即， 当直线轴时，直线的方程为，满足， 当直线轴时，直线的方程为，满足， 综上所述，经过任意两个不同的点、直线方程都可表示为，D对. 故选：BD. 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【分析】求出直线过的定点判断A；取，确定的位置关系判断B；由垂直关系求出判断C；取判断D. 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误. 故选：AC 三、填空题 14．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2 15．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 17．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知、两点在直线的异侧或在直线上，列出不等式，求出解集即可 【详解】由题意：、两点在直线的异侧或在直线上， 所以. 故答案为： 18．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行得斜率相等，再根据点斜式方程即可求解； （2）根据题意可知所求直线与AC平行或者过A，C中点，分类求解即可. 【详解】（1），∴直线BC的斜率为：. ∴过点A且平行于BC的直线的方程为：，即. （2）由题知可知：的中点坐标为：，直线的方程为：. 当直线与AC平行时，直线的一般方程为：； 当直线经过A，C中点时，，此时直线的方程为：，即. 综上所述：过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程为：或. 20．（24-25高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得； （2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得. 【详解】（1）设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； （2），，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 21．（24-25高二上·四川南充·期中）已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程变换主元，联立方程组解方程即可； （2）设，由中点坐标公式计算得，得出截距式方程转化为斜截式即可. 【详解】（1）由直线变形得， 令，解得：，                             由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）设，则由已知有，联立解得：， 所以直线的截距式方程为，即的方程为，. 22．（24-25高二上·重庆·期中）直线的方程为（）. (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式 求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）直线的方程变形为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点 （2）由， 依题意，即， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，，， 所以当的面积最小时，的周长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线的方程 【知识梳理】 【知识梳理】 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：直线的两点式方程 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 题型三：直线的截距式方程 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四、直线的一般式方程 10．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D．1 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 题型五：用合适的方法求直线方程 13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 14．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 题型六：一般式下直线的平行与垂直的问题 16．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 17．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 18．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 题型七：由两条直线平行或垂直求直线方程 19．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 20．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 21．（24-25高二上·四川·期中）已知在中，，分别在线段上，且． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程. 题型八：直线和坐标轴围成的面积问题 22．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 23．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 24．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 题型九：直线过定点问题 25．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 26．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 27．（24-25高二上·重庆渝中·期中）当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 题型十：直线方程的综合问题 28．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点且与直线平行的直线方程是 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．，，三点共线 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 3．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·四川·期中）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 7．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 二、多选题 8．（24-25高二上·四川巴中·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 9．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 10．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 12．（24-25高二上·福建莆田·期中）下列说法的正确的是（   ） A．经过定点的直线的方程都可以表示为 B．方程能表示平行轴的直线 C．不经过原点的直线的方程都可以表示为 D．经过任意两个不同的点、直线方程都可表示为 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 三、填空题 14．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 15．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 17．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 四、解答题 19．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 20．（24-25高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 21．（24-25高二上·四川南充·期中）已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 22．（24-25高二上·重庆·期中）直线的方程为（）. (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$