1.2 直角三角形 讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

特殊三角形之直角三角形 开心一笑 内容目录 知识清单 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 基础过关 【例1】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高． (1)写出图中与∠B互余的角； (2)图中互余的角有几对，请你一一写出来． 【例2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【例3】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？ 【例4】判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 能力提升 【例5】如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积． 【例6】在中,AB=AC=4,P是BC上异于B、C的一点,求= 【例7】（贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　　三角形． （2）猜想，当a2+b2　　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　　c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 知识清单 知识点一：互逆命题 逆命题 逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 知识点二：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。 基础过关 【例8】写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 　　1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等. 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【例9】下列定理中，没有逆定理的是（　　） ①内错角相等，两直线平行 ②等腰三角形两底角相等 ③对顶角相等 ④直角三角形的两个锐角互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例10】如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法） 【例11】（1）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式． （2)如图△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB． 能力提升 【例12】（1）写出命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题 （2） 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． （3） 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60° 【例13】（1）如图，△ABC中，CD、CE．分别是AB边上的高和中线，且∠l= ∠2= ∠3． 求证：∠ACB= 90°． （2)已知，如图，在△ABC中，A=，CDAB于点D，BC= 2CD,求的值. 、 知识清单 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 基础过关 【例14】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝CD： （2）AD∥BC． 【例15】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC． 能力提升 【例16】如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F. 求证：∠1＝∠2. 【例17】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 总结回顾 今天所学内容： 课后作业 知识板块一：勾股定理及其逆定理 课后演练 【演练一】已知:如图,AD∥BC,F是AB中点,DF交CB延长线于点E,CE=CD,则图中与∠ADE相等的角有 , 与∠ADE互余的角有 . 【演练2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝2，＝3，求； （2）已知，＝32，求、． 【演练3】一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 【演练4】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，． 【演练5】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠， 使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处， 折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 知识板块二：互逆命题 课后演练 【演练6】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 知识板块三：反证法 课后演练 【演练7】已知：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E．求证：AB≠AC． 知识板块四：30度角 课后演练 【演练8】如图，AD∥BC,AD =BC,CE垂直平分AB，垂足为E．求证：∠1=∠2=∠3． 【演练9】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC = 120D°,AC边的垂直平分线交BC于E，垂足为D．求证：BE=2EC． 知识板块五 HL 课后演练 【演练10】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 【演练11】已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F。求证：OE=OF。 干了这碗鸡汤 史蒂芬与他的导演梦 史蒂芬·史匹柏在36岁时就成为世界上最成功的制片人，电影史上十大卖座的影片中，他个人囊括四部。他是怎么能在这样年轻的年纪里就有此等作为？他的故事实在耐人寻味。 史匹柏在十二三岁时就知道，有一天他要成为电影导演。在他17岁那年的一天下午，当他参观环球制片厂后，他的一生改变了。那可不是一次不了了之的参观活动，在他得窥全貌之后，当场他就决定要怎么做。他先偷偷摸摸地观看了一场实际电影的拍摄，再与剪辑部的经理长谈了一个小时，然后结束了参观。 对于许多人而言，故事就到此为止，但史匹柏可不一样，他有个性，他知道他要干什么。从那次参观中，他知道得改变做法。 于是，第二天，他穿了套西装，提起他老爸的公文包，里头塞了一块三明治，再次来到摄影现场，装出他是那里的工作人员。当天他故意地避开了大门守卫，找到一辆废弃的手拖车，用一块塑胶字母，在车门上拼成“史蒂芬·史匹柏”、“导演”等字。然后他利用整个夏天去认识各位导演、编剧、剪辑，终日流连于他梦寐以求的世界里。从与别人的交谈中学习、观察并发展出越来越多关于电影制作的灵感来。 终于在20岁那年，他成为正式的电影工作者。他在环球制片厂放映了一部他拍得不错的片子，因而签订了一纸7年的合同，导演一部电视连续剧。他的梦终于实现了。 史匹柏知道他所追求的目标，也知道应该怎样去做，他善于学习，用恰当的目标为自己铺就了成功的道路。 学科网（北京）股份有限公司 A B C D E F O $$