第五单元 分数的意义（知识清单）数学北师大版五年级上册

第五单元 分数的意义 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：分数的定义和单位“1”的认识： ①单位“1”：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位“1”。在寻找单位“1”时，我们通常找“是”，“占”，“比”，其后面的内容通常就是我们要寻找的单位“1”；如果一个分数的后面有单位时，如时，这里我们是把“1小时”看成单位“1”。 ②分数的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数，表示其中一份的数，叫作分数单位。 知识点二：分数与除法的关系： ①分数与除法的关系用字母表示为：a÷b=（b≠0），例如，3÷7=，强调以后我们遇到除不尽的计算题时，我们可以用分数来表示（要求是最简分数）。 ②考点展示，在用合适的分数表示时，我们可以这样思考，例如，3克=千克，我们可以先思考1千克=1000克，是把1千克平均分成了1000份，占其中的3份，也就是3÷1000=，及3克=千克。 知识点三：求一个数是另一个数的几分之几 ①计算方法：求一个数是另一个数的几分之几时，我们可以用除法 ②例题展示：红彩带长4，黄彩带长1，黄彩带的长是红彩带的几分之几？ 解题思路：做这样的题目时，找到关键词，如“是”，“占”，“比”圈起来改成“÷”，及1÷4=。 知识点四：真分数、假分数和带分数 ①真分数定义：分子比分母小的分数叫作真分数。同时强调真分数是大于0，小于1的分数，及0<真分数<1。 ②假分数定义：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。强调假分数是大于1，或者等于1的分数。 ③真分数和假分数关系：真分数永远的小于假分数。 ④带分数定义：分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，这样的假分数通常叫作带分数。例如=，读作一右三分之一。 ⑤强调：分数我们就分成真分数和假分数，而带分数只是假分数的一种情况。这里一定要强调明白了。 知识点五：分数与小数之间的互化 ①分数化成小数可以利用分数与除法的关系进行，例如，=1÷4=0.25，强调除不尽的时候通常保留三位小数。 ②小数化成分数方法如下：一位小数用十分之几表示，两位小数用百分之几表示，三位小数用千分之几表示……，强调必须用最简分数表示。 知识点六：分数与分数比较大小，分数与小数比较大小 ①分数与分数比较大小，分为以下几种情况如： 分母相同时，当分母相同时，比较分子，分子大的分数，分数就大。例如，< 分子相同时，比较分母，分母小的分数反而大！例如，< 3、分子和分母都不相同时，分为两种方法：一是化成小数，然后比较它们的大小，二是对它们进行通分，把分母化成一样的分数比较它们的大小。 知识点七：分数的基本性质及约分 ①分数基本性质定义：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这是分数的基本性质。这里强调清楚分子和分母并没有加减，只有乘除。其实分数的基本性质与除法中商不变规律性质是一样的。 ②约分定义：把分子和分母化成比较小但分数的大小不变的分数叫作约分，而我们对一个分数约分一定要约成最简分数。 ③最简分数定义：当分子和分母的公因数只有1时，我们称这样的分数叫作最简分数，在约分时，我们通常是除以分子和分母的最大公因数；同时强调当分母为1时，要化成整数，例如，=2 知识点八：通分 ①通分的定义：把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。相同的分母叫作这几个分数的公分母，而我们为了方便计算，通常公分母我们找分母的最小公倍数作为公分母 ②例题讲解对和通分， 两个分数的公分母为12，及4和6的最小公倍数就是12，=， = 【例1】的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位后为3。 【例2】＝（    ）÷（    ）＝（    ）（最简分数）。 【例3】把3米长的铁丝平均截成7段，每段长米，每段长是3米的。 【例4】分数，当ａ＝( )时，它是最大的真分数；当ａ＝( )时，它是最小的假分数。 【例5】在下面的括号里填上适当的分数。 50平方分米＝( )平方米  75厘米＝( )米     5分＝( )时 【例6】一个分数约分后是，原来的分子与分母的和等于60，原来这个分数是( )。 【例7】把的分子增加18，要使分数的大小不变，分母应增加( )。 【例8】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 【例9】淘气喝了一杯牛奶的，笑笑也喝了一杯牛奶的。笑笑说两人喝的牛奶一样多，淘气说不一定。谁说得对？为什么？ 【例10】实验小学数学兴趣小组有女生11人，男生14人。 (1)男、女生人数各占这个小组总人数的几分之几？ (2)男生人数是女生的多少倍？(用带分数表示) 1．一个分数，如果分子加上1，结果是1；如果分母加上1，结果是，原来这个分数是( )。 2．里面有( )个，再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数． 3．在这个分数中，当a( )时，分数值是1；当a( )时，分数的值小于1；当a( )时，分数的值大于1；当a( )时，这个分数没有意义。 4．的分子加上28，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 5．如果a是b的因数，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a=b+1(且a,b均不等于0),那么a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。 6．里面有( )个 ；( )个 是 。 7． 的分母加15，要使分数的大小不变，分子应加( )。 8．一个最简真分数的分子、分母的积为36，这个最简真分数的分子与分母的和可能是( )和( )。 9．在里填上“ > ”“ < ”或“ ＝ ”． 　　　　　　 10．如果a×＝b×＝c×，且a、b、c不等于0，要使等式成立，把a、b、c这三个数按从大到小的顺序排列起来是( )＞( )＞( )． 11．一头鲸的质量大约是50吨，一头大象的质量大约是5吨，一头牛的质量大约是600kg，一头大象的质量是一头鲸的质量的几分之几？一头牛的质量是一头大象质量的几分之几？ 12．从图书馆跑步到学校，贝贝用了20分，丽丽用了小时，娜娜用了小时，三个人中谁跑得最快？ 13．超市有三种质量相等的水果，周末的销售情况如下：苹果售出 ，香蕉售出 ，梨子售出 ．如果超市要进货，应该多进哪种水果？为什么？ 14．一个最简分数，分子、分母的和是40，分子、分母都减去3，约分后得，求这个分数． 15．NBA某篮球队在56场比赛中共胜了35场，输了21场。请你用最简分数表示胜的场数占总场数的几分之几，输的场数占总场数的几分之几。 16．希望小学要举办文艺演出，准备用红、黄、蓝三种颜色的气球共79个装饰会场，按照1蓝、2黄、3红的顺序排列，三种颜色的气球各占总数的几分之几? 17．在一次探案过程中，探长发现了一串神秘的数，其中有两个分数的分子已经模糊不清了,探长用x和y来代替,形如<< (x和y是连续的自然数)．只要破解出这个不等式中的所有未知数，就能了解到案件中的相关信息．你能帮助探长吗? ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 分数的意义 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：分数的定义和单位“1”的认识： ①单位“1”：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位“1”。在寻找单位“1”时，我们通常找“是”，“占”，“比”，其后面的内容通常就是我们要寻找的单位“1”；如果一个分数的后面有单位时，如时，这里我们是把“1小时”看成单位“1”。 ②分数的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数，表示其中一份的数，叫作分数单位。 知识点二：分数与除法的关系： ①分数与除法的关系用字母表示为：a÷b=（b≠0），例如，3÷7=，强调以后我们遇到除不尽的计算题时，我们可以用分数来表示（要求是最简分数）。 ②考点展示，在用合适的分数表示时，我们可以这样思考，例如，3克=千克，我们可以先思考1千克=1000克，是把1千克平均分成了1000份，占其中的3份，也就是3÷1000=，及3克=千克。 知识点三：求一个数是另一个数的几分之几 ①计算方法：求一个数是另一个数的几分之几时，我们可以用除法 ②例题展示：红彩带长4，黄彩带长1，黄彩带的长是红彩带的几分之几？ 解题思路：做这样的题目时，找到关键词，如“是”，“占”，“比”圈起来改成“÷”，及1÷4=。 知识点四：真分数、假分数和带分数 ①真分数定义：分子比分母小的分数叫作真分数。同时强调真分数是大于0，小于1的分数，及0<真分数<1。 ②假分数定义：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。强调假分数是大于1，或者等于1的分数。 ③真分数和假分数关系：真分数永远的小于假分数。 ④带分数定义：分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，这样的假分数通常叫作带分数。例如=，读作一右三分之一。 ⑤强调：分数我们就分成真分数和假分数，而带分数只是假分数的一种情况。这里一定要强调明白了。 知识点五：分数与小数之间的互化 ①分数化成小数可以利用分数与除法的关系进行，例如，=1÷4=0.25，强调除不尽的时候通常保留三位小数。 ②小数化成分数方法如下：一位小数用十分之几表示，两位小数用百分之几表示，三位小数用千分之几表示……，强调必须用最简分数表示。 知识点六：分数与分数比较大小，分数与小数比较大小 ①分数与分数比较大小，分为以下几种情况如： 分母相同时，当分母相同时，比较分子，分子大的分数，分数就大。例如，< 分子相同时，比较分母，分母小的分数反而大！例如，< 3、分子和分母都不相同时，分为两种方法：一是化成小数，然后比较它们的大小，二是对它们进行通分，把分母化成一样的分数比较它们的大小。 知识点七：分数的基本性质及约分 ①分数基本性质定义：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这是分数的基本性质。这里强调清楚分子和分母并没有加减，只有乘除。其实分数的基本性质与除法中商不变规律性质是一样的。 ②约分定义：把分子和分母化成比较小但分数的大小不变的分数叫作约分，而我们对一个分数约分一定要约成最简分数。 ③最简分数定义：当分子和分母的公因数只有1时，我们称这样的分数叫作最简分数，在约分时，我们通常是除以分子和分母的最大公因数；同时强调当分母为1时，要化成整数，例如，=2 知识点八：通分 ①通分的定义：把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。相同的分母叫作这几个分数的公分母，而我们为了方便计算，通常公分母我们找分母的最小公倍数作为公分母 ②例题讲解对和通分， 两个分数的公分母为12，及4和6的最小公倍数就是12，=， = 【例1】的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位后为3。 【答案】 11 1 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位；先把化成假分数，对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 把整数3化成分母为4的假分数即；与的分子相差几，就需要再加上几个这样的分数单位后为3。 【详解】＝ 的分数单位是，有11个这样的分数单位； 3＝，里面有12个； 12－11＝1 再加上1个这样的分数单位后为3。 【例2】＝（    ）÷（    ）＝（    ）（最简分数）。 【答案】24；4（答案不唯一）；5（答案不唯一）； 【分析】利用分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；利用分数与除法的关系，写出除法算式；最简分数用约分的方法把分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数即可。据此解答。 【详解】 （答案不唯一） 【例3】把3米长的铁丝平均截成7段，每段长米，每段长是3米的。 【答案】； 【分析】总长度÷平均分成的段数＝每段的长度，则用3÷7即可求出每段的长度； 将3米长的铁丝看成单位“1”，将其平均分成7段，求其中的1段占总长度的几分之几，用1÷7即可。 【详解】3÷7＝（米） 1÷7＝ 每段长米，每段是3米的。 【例4】分数，当ａ＝ 时，它是最大的真分数；当ａ＝ 时，它是最小的假分数。 【答案】 6 5 【分析】根据真分数和假分数的意义进行判断即可得解。 【详解】当ａ＝（    ）时，分数是最大的真分数。分子比分母小的分数叫真分数；所以ａ可以是大于5的任何一个整数；分子相同的情况下，分母越小这个分数越大，所以只有当分母是6时，分数是最大的真分数。 当ａ＝（    ）时，它是最小的假分数。分子大于或等于分母的分数叫假分数；分子相同的情况下，分母越大，这个分数就越小。所以当ａ等于是时，分数是最小的假分数。 【点睛】此题考查了什么是真分数，什么是假分数及分母与分数大小的关系。 【例5】在下面的括号里填上适当的分数。 50平方分米＝( )平方米  75厘米＝( )米     5分＝( )时 【答案】 【分析】1平方米＝100平方分米；1米＝100厘米；1时＝60分；低级单位换算成高级单位，除以进率，再约分，即可； 【详解】50平方分米＝平方米 75厘米＝米 5分＝时 【点睛】本题考查单位名数的互换，关键是熟记进率。 【例6】一个分数约分后是，原来的分子与分母的和等于60，原来这个分数是( )。 【答案】 【分析】根据题意，求出约分后的分子与分母的和，即2＋13＝15，用原来的分子与分母的和除以约分后的分子与分母的和，得到的商，再分别乘约分后的分子和分母，即可得到原来的分数，即可解答。 【详解】2＋13＝15 60÷15＝4 ＝＝ 【点睛】本题考查分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 【例7】把的分子增加18，要使分数的大小不变，分母应增加( )。 【答案】48 【分析】原来的分子是3，增加18后变成18＋3＝21，与原来的分子相比，扩大了7倍，根据分数的基本性质，要保证分数的大小不变，则分母也应该扩大7倍，用扩大后的分母减去原来的分母即可求出分母应增加的数量。 【详解】（18＋3）÷3 ＝21÷3 ＝7 7×8－8 ＝56－8 ＝48 【点睛】找出分子扩大的倍数解题的关键，掌握分数的基本性质。 【例8】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 【答案】时；时；时；王师傅 【分析】分别用时间÷零件个数，求出三个师傅平均每人做一个零件用的时间；做一个零件用的时间越少效率越高，据此比较三人做一个零件用的时间即可，异分母分数比较大小，先通分再比较。 【详解】（时） （时） （时） 、、 答：王师傅做一个零件用时，张师傅做一个零件用时，李师傅做一个零件用时。王师傅的工作效率最高。 【例9】淘气喝了一杯牛奶的，笑笑也喝了一杯牛奶的。笑笑说两人喝的牛奶一样多，淘气说不一定。谁说得对？为什么？ 【答案】见详解 【分析】根据分数的意义，淘气喝了一杯牛奶的，对应的单位“1”是淘气喝这杯牛奶；笑笑喝了另一杯牛奶的，对应的单位“1”是笑笑喝的这杯牛奶，据此解答。 【详解】根据分数的意义：若他们两人杯子的容量一样，则喝的同样多； 若淘气杯子的容量大，则淘气喝的牛奶多；若笑笑杯子的容量大，则笑笑喝的牛奶多； 综上可知：淘气说得对；因为不知道每个人的牛奶杯是不是一样大。 【例10】实验小学数学兴趣小组有女生11人，男生14人。 (1)男、女生人数各占这个小组总人数的几分之几？ (2)男生人数是女生的多少倍？(用带分数表示) 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）从题意可知：以这个小组总人数为单位“1”， 男生人数＋女生人数＝这个小组总人数，用11＋14＝25人，求出这个小组总人数。根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，分别用男、女生人数除以这个小组总人数，即可求出男、女生人数各占这个小组总人数的几分之几。 （2）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用男生人数除以女生人数，即可求出男生人数是女生的多少倍。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ 答：男生人数占这个小组总人数的，女生人数占这个小组总人数的。 （2） ＝ ＝ 答：男生人数是女生倍。 1．一个分数，如果分子加上1，结果是1；如果分母加上1，结果是，原来这个分数是( )。 【答案】 【分析】从第一句可知分子分母相差1，而也相差，说明这个数是通过约分得来的，而且约掉的是2。因为如果是3，分子分母就相差了2，不是1，所以先把的分子和分母同时扩大2倍，分母再减去1即可。 【详解】＝＝ 16－1＝15 所以原来这个分数是。 【点睛】运用还原的思路从结果往前考虑，依据分数的基本性质找出的分子与分母扩大的倍数是解题的关键。 2．1里面有( )个，再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数． 【答案】 13 5 【详解】=,这个分数的分数单位是.故有13个这样的分数单位. 2＝,需要再添上18﹣13＝5个这个样的分数单位；据此解答即可． 3．在这个分数中，当a( )时，分数值是1；当a( )时，分数的值小于1；当a( )时，分数的值大于1；当a( )时，这个分数没有意义。 【答案】 等于b ＞b ＜b 等于0 4．的分子加上28，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 【答案】49 5．如果a是b的因数，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a=b+1(且a,b均不等于0),那么a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。 【答案】 a b 1 ab 6．里面有( )个 ；( )个 是 。 【答案】 7 9 【分析】表示把一个整体平均分成9份，其中的7份是多少；表示9个是多少。 【详解】×7＝，×9＝ 7． 的分母加15，要使分数的大小不变，分子应加( )。 【答案】9 8．一个最简真分数的分子、分母的积为36，这个最简真分数的分子与分母的和可能是( )和( )。 【答案】 13 37 9．在里填上“ > ”“ < ”或“ ＝ ”． 　　　　　　 【答案】<；=；<；> 10．如果a×＝b×＝c×，且a、b、c不等于0，要使等式成立，把a、b、c这三个数按从大到小的顺序排列起来是( )＞( )＞( )． 【答案】 a b c 【分析】由题意知，a×＝b×＝c×，且a、b、c不等于0，要比较a、b、c的大小，可比较3个分数的大小，根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大”来判断即可． 【详解】a×＝b×＝c×，且a、b、c不等于0， 因为＜＜，所以a＞b＞c． 故答案为：a，b，c． 【点睛】解答此题要明确：积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大． 11．一头鲸的质量大约是50吨，一头大象的质量大约是5吨，一头牛的质量大约是600kg，一头大象的质量是一头鲸的质量的几分之几？一头牛的质量是一头大象质量的几分之几？ 【答案】； 【详解】5÷50=    5吨=5000千克    600÷5000= 12．从图书馆跑步到学校，贝贝用了20分，丽丽用了小时，娜娜用了小时，三个人中谁跑得最快？ 【答案】丽丽 【详解】20分≈0.33小时    =0.25     ≈0.42    因为0.25＜0.33＜0.42，所以＜0.33＜   丽丽跑得最快 13．超市有三种质量相等的水果，周末的销售情况如下：苹果售出 ，香蕉售出 ，梨子售出 ．如果超市要进货，应该多进哪种水果？为什么？ 【答案】应该多进梨  因为梨卖出的最多 【详解】因为三种水果的质量相等，所以哪种水果售出的越多，就越需要进货．因此要将题中的三个分数进行比较，通分即可得到答案． =＜=＜=，而三种水果的质量相等，则超市卖出的梨子最多，应该多进梨． 答：应该多进梨，因为梨卖出的最多． 14．一个最简分数，分子、分母的和是40，分子、分母都减去3，约分后得，求这个分数． 【答案】 【分析】由题意“分子、分母的和是40，分子、分母都减去3”可先求出这时的分子、分母的和是40﹣3﹣3=34，又有“约分后得”可知这时可知分子与分母的比是5：12，据此可以看看分子占分子和分母的和的几分之几，分母占分子和分母的和的几分之几，又知道分子和分母之和是34，根据按比例分配可以求出分子、分母各是多少，问题就解决了． 【详解】分子、分母都减去3后分子、分母的和是： 40﹣3﹣3=34； 5+12=17， 减去3后的分子是：34×=10， 减去3后的分母是：34×=24， 原来的分子是10+3=13， 原来的分母是24+3=27； 答：这个分数． 【点睛】解答这类题目关键运用转化的方法将分数转化成比，再运用按比例分配进行计算就简单了． 15．NBA某篮球队在56场比赛中共胜了35场，输了21场。请你用最简分数表示胜的场数占总场数的几分之几，输的场数占总场数的几分之几。 【答案】胜的场数占总场数的，输的场数占总场数的。 【详解】NBA某篮球队在56场比赛中共胜了35场，输了21场，根据分数的意义可知，胜的场数占总场数的即，输的场数占总场数的即。 答：胜的场数占总场数的，输的场数占总场数的。 16．希望小学要举办文艺演出，准备用红、黄、蓝三种颜色的气球共79个装饰会场，按照1蓝、2黄、3红的顺序排列，三种颜色的气球各占总数的几分之几? 【答案】蓝色：；黄色： ；红色： ． 【详解】79(1+2+3)= 13(组)……1(个) 蓝色气球:1×13+1=14(个)  1479= 黄色气球:2×13= 26(个)  2679= 红色气球:3×13= 39(个)  3979= 17．在一次探案过程中，探长发现了一串神秘的数，其中有两个分数的分子已经模糊不清了,探长用x和y来代替,形如<< (x和y是连续的自然数)．只要破解出这个不等式中的所有未知数，就能了解到案件中的相关信息．你能帮助探长吗? 【答案】x=15,y=16． ( 1 / 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$