精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年下学期高二期末考试数学试卷 命题人：审题人：考试时间：120分钟试卷 总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先求集合，再求，即可求解元素个数. 【详解】，， 依题意可得，则中元素的个数为5. 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方及除法计算得解. 【详解】依题意，，则，所以. 故选：A 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 当，对数没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 6. 数列 对任意的有成立，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定的递推公式，利用构造法，结合等差数列通项公式求解. 【详解】依题意，， 则，数列是公差为1的等差数列， 于是，而所以. 故选：C 7. 某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】根据实际意义求出男生和女生人数，然后利用组合数的计算求解即可. 【详解】由题意可得，解得，又，所以． 所以该校学生会有男生8人，女生12人， 则从男生中选人，从女生中选人， 不同选法种数为． 故选：B 8. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件数的一组样本数据：，则（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是2 D. 第25百分位数为12 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可. 【详解】数据从小到大排列为：. 对于选项A，该组数据的极差为，故A正确； 对于选项B，众数为13，平均数为，所以众数与平均数相等，故B正确； 对于选项C，方差，故C错误； 对于选项D，由，则第25百分位数为12，故D正确， 故选：ABD. 10. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角是 D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，，则，，A正确； 对于B，，不共线，B错误； 对于C，，则， 而，因此，C正确； 对于D，在上的投影向量是，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的减区间为，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 13. 在中，向量，，若为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得且与不共线，再利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列式求解. 【详解】由为锐角，得且与不共线， 由，得，而， 于是，解得； 若与共线，则，即，解得或， 因此且，所以x的取值范围是． 故答案为： 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求. 【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则两个切点都在直线上，设两个切点分别为，， 又，，则，， 由导数的几何意义可知，则， 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得， 由可得 ， 代入中可知， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若，，求外接圆的半径； 【答案】（1）. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化以及三角恒等变换求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解. 【小问1详解】 在中，由， 得， 由正弦定理得， 而，解得，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， 而，得， 解得，则， 所以外接圆的半径为. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证出，再利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，由四边形是边长为2的菱形，， 得是正三角形，又为的中点，则， 而正三角形，则，于是， ，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， ， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知双曲线：（，）左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. （1）求的离心率； （2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出时的坐标，根据，列出关于的齐次等式，即可求离心率； （2）先求出双曲线方程与渐近线方程，通过找出坐标之间关系，用坐标表示的坐标，代入双曲线方程得到，再用表示出的面积，整体代入即可. 【小问1详解】 设，将代入双曲线方程得，此时， 所以，即，， 则，所以（负值舍去）， 故的离心率为2. 【小问2详解】 因为，由（1）知， 双曲线方程为：，渐近线方程为， 设， 则， 所以， 又在双曲线上，所以，整理得：， 由渐近线方程为得， 所以的面积为 . 18. 已知函数. （1）当时，讨论单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足. （Ⅰ）求证：是数列的生成函数； （Ⅱ）求数列的前n项和. （2）已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）. 【答案】（1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）根据条件可得，再结合生成函数定义证明；（Ⅱ）运用错位相减求和即可； （2）根据生成函数定义，结合等比数列定义可得，数列是以为首项，为公比的等比数列，进而可得，结合等比数列求和公式即可证明. 【小问1详解】 （Ⅰ）由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 两式相减得： 所以. 【小问2详解】 由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，又， ，（，）， 则当时，， 即， （，）. 【点睛】方法点睛：用错位相减法求和应注意的问题： （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错位对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年下学期高二期末考试数学试卷 命题人：审题人：考试时间：120分钟试卷 总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 数列 对任意的有成立，若，则等于（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 8. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件数的一组样本数据：，则（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是2 D. 第25百分位数为12 10 已知平面向量，则（ ） A B. C. 与的夹角是 D. 在上的投影向量是 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，直线与曲线有三个交点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的减区间为，则的值为______. 13. 在中，向量，，若为锐角，则实数的取值范围为________. 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若，，求外接圆的半径； 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. （1）求的离心率； （2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足. （Ⅰ）求证：是数列的生成函数； （Ⅱ）求数列的前n项和. （2）已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $