4.5 相似三角形判定定理的证明 课件 -2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 第9课 相似三角形判定定理的证明 　　知识点 相似三角形判定定理的证明 　　(1)相似三角形的判定定理 　　定理1：两角分别 ⁠的两个三角形相似． 　　定理2：两边成比例且 ⁠相等的两个三角形相似． 　　定理3：三边 ⁠的两个三角形相似． 　　(2)相似三角形的性质：①对应角 ；②对应边 ⁠． 相等 夹角 成比例 相等 成比例 　　1． 【例1】证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 　　已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′. 　　求证：△ABC∽△A′B′C′. 　　证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC， 交AC于点E，则∠1＝∠B，∠2＝∠C， ＝ . 过点D作DF∥AC， 交BC于点F，则 ＝ . ∴ 　 　 ． 　　∵DE∥BC，DF∥AC， 　　∴四边形DFCE是平行四边形． 　　∴DE＝CF. ∴ 　 　 ．∴ 　 　 ． 　　而∠1＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠2＝∠C， 　　∴ ⁠． △ADE∽△ABC 　　∵∠A＝∠A′，AD＝A′B′，∠1＝∠B＝∠B′， 　　∴△ ≌△ ( )． 　　∴△ABC∽△A′B′C′. ADE A′B′C′ ASA 　　2． 【例2】证明定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 　　已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ＝ . 　　求证：△ABC∽△A′B′C′. 　　证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取A′D＝AB，过点D作 DE∥B′C′，交A′C′于点E，则∠A′DE＝∠ ⁠． 　　∵∠A′＝∠A′， 　　∴△ ∽△ (两角分别相等的两个三角形相 似)．∴ ⁠． 　　∵A′D＝AB， ＝ ， 　　∴ ．∴ ⁠． A′B′C′ A′DE A′B′C′ A′E＝AC 　　又∠A′＝∠A，∴△ ≌△ ( )． 　　∴△ABC∽△A′B′C′. A′DE ABC SAS 　　3． 【例3】证明定理3：三边成比例的两个三角形相似．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ＝ ＝ . 求证：△ABC∽△A′B′C′. 　　证明：如图，在△ABC的边AB，AC上分别截取AD＝A′B′，AE ＝A′C′，连接DE. 　　∵ ＝ ，AD＝A′B′，AE＝A′C′，∴ ＝ . 　　∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE. 　　∴ ＝ . 　　又 ＝ ，AD＝A′B′，∴ ＝ . 　　∴ ＝ . ∴DE＝B′C′. 　　∴△ADE≌△A′B′C′(SSS)． 　　∴△ABC∽△A′B′C′. 　　 　　1． 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不 能判定这两个三角形相似的是(　C　) A． ∠A＝55°，∠D＝35° B． AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C． AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D． AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 C 　　2． 如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E， 连接BE，CD相交于点F，则下列等式中不．成．立．的是(　C　) A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ C 　　3． 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则 ＝ 　 　 ． 　　4． 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点 A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F. 求证： ＝ . 　　证明：由旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝ ∠DAE， 　　∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD. 　　设AC＝x，则由勾股定理得AB＝AD＝ x， 　　∴ ＝ ＝ ，∴△BAD∽△CAE， 　　∴ ＝ ＝ . 　　5． 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，点F为DE上一点，且∠AFE＝∠B. 　　(1)求证：△ADF∽△DEC； 　　(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 　　∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC. 　　∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， 　　∴∠AFD＝∠C. ∴△ADF∽△DEC. 　　(2)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长． 　　(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， 　　∴AD∥BC，DC＝AB＝7. 　　∵AE⊥BC，∴AE⊥AD. ∴∠DAE＝90°. 　　∴DE＝ ＝ ＝10. 　　由(1)可知△ADF∽△DEC. 　　∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴AF＝ . 　　6． (拓展题)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线 段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 　　(1)求证：∠CAE＝∠BAF； 　　 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 　　∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF. 　　∴△ACE≌△ABF(SAS)．∴∠CAE＝∠BAF. 　　(2)求证：CF·FQ＝AF·BQ. 　　(2)由(1)，得△ACE≌△ABF. ∴AE＝AF. 　　∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴ ＝ . 　　∵∠CAE＝∠FAQ，∴△ACE∽△AFQ. 　　∴∠AEC＝∠AQF. ∴∠AEF＝∠BQF. 　　∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE. 　　∴∠BQF＝∠AFE＝∠CFA． 　　∵∠B＝∠C，∴△BFQ∽△CAF. 　　∴ ＝ ，即CF·FQ＝AF·BQ. 　　 $$