第6章 拓展课3 水平、竖直面内的圆周运动（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课3　水平、竖直面内的圆周运动 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.知道物体在水平方向做圆周运动的条件，结合实际问题分析临界点； 2．理解竖直方向圆周运动的两种模型，知道两种模型的临界点和条件。 1.根据所学的圆周运动的规律推导出临界条件； 2．通过实例分析建立运动模型。 　　通过生活、生产实例的分析，体会物理规律来源于生产生活而又服务于生产生活。 [对应学生用书P54] 探究点一 水平面内的圆周运动 1．绳模型 如图所示，绳子的一端系在光滑水平面上的O点，绳子另一端系一个小球，使小球在光滑桌面上做匀速圆周运动。 F＝ma＝m＝mω2r＝mr。 2．圆锥摆模型 物体受重力、斜向上的拉力(或其他力)在水平面内做匀速圆周运动。例如圆锥摆、圆锥筒内的小球、汽车(火车)在外高内低的弯道上无侧向摩擦力(弹力)转弯等，重力和斜向上的拉力(弹力)的合力提供向心力。 F合＝mg tan θ＝mω2r＝m＝man an＝g tan θ，an大小与θ有关。 【例1】 (2025·北京东城区期末)如图所示，质量为m的小球在水平面内做匀速圆周运动。若保持轨迹所在水平面到悬点P的距离h不变，增大轻绳的长度l。有关小球做圆周运动的周期T与轻绳的拉力大小F，下列说法正确的是 (　　) A．T不变 B．T增大 C．F减小 D．F不变 A　解析：小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示， 可得F sin θ＝ml sin θ，F cos θ＝mg，l cos θ＝h，联立解得T＝2π，可知周期T只与距离h有关，增大l周期T不改变，A正确，B错误；由上述公式可得F＝，可知轻绳的拉力大小F随l增大而增大，C、D错误。 [练1] 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B；A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA＝20 cm，rB＝30 cm，A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4，求： (1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0。 (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω。 答案：(1)3.65 rad/s　(2)4 rad/s 解析：(1)研究物体B，绳子开始出现张力时，摩擦力达到最大。 kmg＝mωrB 可得ω0≈3.65 rad/s (2)当A开始滑动时，物体A、B受力情况如图所示 研究物体A可得kmg－FT＝mω2rA 研究物体B可得kmg＋FT＝mω2rB 联立可得ω＝4 rad/s。 探究点二 竖直面内的圆周运动 1．绳模型(外管、无支撑、水流星模型) (1)受力特点：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力。 (2)临界问题 ①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好为零，则：mg＝m ，解得： v0＝； ②v≥v0能过最高点； ③v＜v0不能过最高点，实际上小球在到达最高点之前就已经脱离了圆轨道。 2．杆模型(双管，有支撑) (1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对内部的小球能产生垂直于轨道向内和向外的弹力。 (2)临界问题： ①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v临＝0，此时 FN－mg＝0。 ②当0＜v＜时，轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力FN，其取值范围是 0＜FN＜mg。 ③当v＝时，重力刚好提供向心力，即mg＝m，轻杆或轨道对小球无作用力。 ④当v＞时，轻杆对小球施加向下的拉力F或轨道外侧对小球施加向下的弹力FN，且v越大F(或FN)越大。 3．两种模型对比 项目 “轻绳模型” “轻杆模型” 情景 图示 弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意图 力学 方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界 特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝ 的意义 物体能否过最高点的临界点 FN表现为拉力还是支持力的临界点 【例2】 (多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　　) A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 AD　解析：对小球在最高点进行受力分析，速度为零时F－mg＝0，结合题图可知a＝mg，当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合题图可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由题图可知b<c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝，则杆对小球有向下的拉力，C错误；当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得F′＋mg＝，解得F′＝mg，D正确。 【例3】 (2025·山东青岛高一期中)如图所示，水流星是中国传统杂技的保留项目，是中华文化的重要传承。结实的绳子系着装有水的水桶，使水桶在竖直平面内做圆周运动，为了研究问题方便，可以把水桶当作质点，设桶内水的质量为0.5 kg，水桶做圆周运动的半径R＝0.4 m，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若在最高点时水不流出，求此时水桶的最小速率； (2)若在最高点时水桶的速率为4 m/s，求此时水对桶底的压力； (3)若在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，求此时水桶的速率。 答案：(1)2 m/s　(2)15 N，方向竖直向上　(3)2 m/s 解析：(1)若水跟着水桶一起做圆周运动，要让水不掉出水桶，则在最高点处有mg≤m 解得vmin＝＝2 m/s。 (2)设在最高点时桶底对水的压力为FN1，由牛顿第二定律有mg＋FN1＝m 解得FN1＝15 N，由牛顿第三定律知水对桶底的压力为15 N，方向竖直向上。 (3)在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，则桶底对水的支持力为桶内水的重力的6倍，桶底对水的支持力为FN2，由牛顿第二定律有FN2－mg＝m 解得v2＝2 m/s。 [练2] 如图所示，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是 (　　) A．弹簧的弹力大小可能发生了变化 B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化 C．若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大 D．小球所受合力的大小一定发生了变化 D　解析：由于小球相对于杆的位置不变，故弹簧的形变量不变，根据胡克定律可知弹簧的弹力大小不变，A错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如图所示， 当角速度较小时，杆对小球的弹力向外，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度较大时，杆对小球的弹力向里，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度合适时，两种情况下杆对小球弹力的大小相同，方向相反，B错误；若金属框的角速度较小，则杆对小球的弹力方向垂直于杆向外，在水平方向上，由牛顿第二定律得F sin α－FN＝mω2r，即FN＝F sin α－mω2r，ω变大，其他量不变，则FN变小，由牛顿第三定律知小球对杆压力的大小变小，C错误；小球所受合外力的大小F合＝Fn＝mω2r，ω变化时，其他量不变，则F合一定发生变化，D正确。 [练3] 如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2。 (1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。 (2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。 答案：(1)56 N　(2)4 rad/s 解析：(1)小球在最低点受力如图甲所示 合力等于向心力，有FA－mg＝m 解得FA＝56 N。 (2)小球在最高点受力如图乙所示，则有mg－FB＝mω2L 解得ω＝4 rad/s。 创新探究 解决实际问题 【例4】 (生活情境)(2025·广东江门高一检测)如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上方的物品相对于转盘静止，下列说法正确的是 (　　) A．越靠近圆心的物品线速度越大 B．越靠近圆心的物品加速度越小 C．越靠近圆心的物品角速度越小 D．越靠近圆心的物品摩擦力越小 B　解析：玻璃转盘相当于同轴转动，即角速度相等，由关系式v＝ωR可知，当角速度相同时，线速度与半径成正比，A、C错误；由关系式a＝ω2R可知，当角速度相同时，加速度与半径成正比，B正确；由f＝mω2R可知，当角速度相同时，摩擦力的大小与物品的质量以及半径有关，D错误。 [练4] (生活情境)(2025·黑龙江双鸭山高一检测)如图甲所示的“太极球”是比较流行的健身器材。现将太极球拍和球简化成如图乙所示的平板和球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的四个位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的质量为m，不计球拍的质量和球与球拍间的摩擦。下列说法正确的是 (　　) A．球运动到最高点A时的最小速度为零 B．球在C处对板的作用力比在A处对板的作用力大2mg C．增大球的运动速度，当球运动到B点时板与水平面的夹角θ变小 D．球运动到B点，θ＝45°时，板对球的作用力大小F＝2mg B　解析：当球恰好能做圆周运动时，在最高点A处有mg＝m，可得球的最小速度vmin＝，A错误；设球做匀速圆周运动的速度为v，根据牛顿第二定律可知在A处时有F＋mg＝m，在C处时有F′－mg＝m，得ΔF＝F′－F＝2mg，B正确；当球运动到B点时，受力分析如图所示，有FN＝mg tan θ＝m，增大球的运动速度，板与水平面的夹角θ应变大，C错误；球运动到B点，θ＝45°时，板对球的作用力大小F＝＝mg，D错误。 [练5] (2025·江苏南京检测)如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。质量分别为m1、m2的妹妹和哥哥拉住穿过圆环的细绳两端A、B，绕C在空中做圆锥摆运动，运动的周期相等，AC、BC的长度分别为L1、L2。不计空气阻力，人可视为质点，下列说法正确的是 (　　) A．若L1>L2，哥哥运动的轨迹平面更高 B．若L1>L2，哥哥运动的轨迹平面更低 C．一定有m1L1＝m2L2 D．一定有mL1＝mL2 C　解析：设AC、BC与竖直方向夹角分别为α、β，则有m1g tan α＝m1，m2g tan β＝m2，解得L1cos α＝L2cos β，说明妹妹和哥哥运动的轨道平面在同一高度，A、B错误；由于细绳穿过圆环，所以细绳对妹妹和哥哥的拉力大小相等，结合上述有FT cos α＝m1g，FT cos β＝m2g，结合上述解得m1L1＝m2L2，C正确，D错误。 [对应学生用书P58] 　 1．(多选)在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B(均视为质点)，它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为μ、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是 (　　) A．此时转盘的角速度大小为 B．此时细线中的张力大小为2μmg C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为μg D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等 AB　解析：A、B两物体相比，根据向心力公式F＝mrω2可知，B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有T＋·2mg＝2m·3r·ω2 ，以A为研究对象，有T－μmg＝m·2rω2 ，由以上两式得T＝2μmg，ω＝，A、B正确；此时烧断细线后的瞬间，A、B都相对圆盘滑动，由牛顿第二定律知二者加速度分别为aA＝＝μg，aB＝＝g，C、D错误。 2．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的可视为质点的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力，重力加速度为g。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是 (　　) A．球B在最高点时速度为零 B．此时球A的速度为零 C．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mg D．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为3mg C　解析：球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，mg＝m，解得v＝，A错误；球A、B的角速度相等，由v＝ωr，得vA＝，B错误；球B转到最高点时，对杆无作用力，对球A，由牛顿第二定律有FT－mg＝m，解得FT＝1.5mg，C正确，D错误。 3．如图所示，水平面上有一半球形碗，O1为球心，在半径为R的半球形碗口(位置1)处放一个可视为质点的小木块，木块与碗的动摩擦因数为μ。小木块随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，碗转动角速度大小至少为________；若换一个光滑且可视为质点的小木块放在位置2，小木块到圆心O1的竖直距离为h＝R，小木块仍随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，则碗转动的角速度大小为________。(已知重力加速度为g) 答案：　 解析：小木块在位置1时，由牛顿第二定律可得FN＝mω2R 小木块在竖直方向平衡，则有mg＝μFN 解得角速度大小至少为ω＝ 小木块在位置2时，受重力和支持力，如图所示，对小木块，在竖直方向则有F cos θ＝mg 由牛顿第二定律可得F sin θ＝mω′2R′ 其中R′＝＝＝R 联立解得角速度大小为ω′＝。 4．(多选)小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一个钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬时，若线没有断裂，则下列说法正确的是 (　　) A．小球的线速度突然增大到原来的2倍 B．小球的角速度突然增大到原来的2倍 C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D．细线对小球的拉力突然增大到原来的2倍 BC　解析：当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度沿水平方向，此时水平方向外力为零，不存在加速度，线速度不会发生突变，A错误；根据ω＝可知，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，小球的角速度突然增大到原来的2倍，B正确；根据a＝可知，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，小球的加速度突然增大到原来的2倍，C正确；在最低点时，设细线对小球的拉力大小为F，根据牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝mg＋m，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，F会突然增大，但不会达到原来的2倍，D错误。 5．(2025·江苏南通检测)如图所示，不可伸长的轻绳穿过一根竖直固定的光滑细管，其两端系有小球A、B，B的质量是A的两倍。当球A绕中心轴匀速转动时，A球到上管口的绳长为L，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求与A球相连的绳与细管的夹角θ； (2)求A球运动的周期T； (3)若A球的角速度增为原来的倍，求稳定后B球的高度变化量Δh。 答案：(1)60°　(2)π　(3) 解析：(1)设A、B的质量分别为m和2m，对小球A受力分析，可知细绳的拉力的竖直分量等于重力，即F cos θ＝mg 其中F＝2mg 可得θ＝60°。 (2)对小球A，由牛顿第二定律可知 F sin θ＝mL sin θ 可得T＝π。 (3)根据F sin θ＝mω2L sin θ 可得ω2L＝2g 若A球的角速度增为原来的倍，则L变为原来的一半，即变为，则稳定后B球的高度变化量Δh＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$