2.7 探索勾股定理（第1课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

2.7 探索勾股定理（第一课时） 题型一：利用勾股定理直接求解 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 在中，，由勾股定理得 ， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴D到的距离为3， 故选：B． 4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，，点D在的延长线上，且，连接，E为中点，则的长是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先勾股定理求出，，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∵E为中点 ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）在中，有两条边的长分别为1，2，则斜边的长为（   ） A．2或 B．2或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．分2是直角边、2是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当2是直角边时，斜边， 当2是斜边时，直角边， ∴斜边长为2或． 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（    ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质．先根据勾股定理求出，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，，若，则长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，在中，根据，求出的长、的长，在中，由得到，于是得到结论． 【详解】解：过A作于D， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型二：利用勾股定理列方程求解 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 设长为x，则，根据垂直平分，得，再由的周长为14，可得，求出，，由勾股定理，即可解答． 【详解】解：设长为x，则， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴． 即， ∴，解得， ∴， ∵ ∴． 故选C． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，，，，点O是的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，利用平方根解方程，直角三角形的性质． 设，则，根据勾股定理列出方程求出x的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），， ∵点O是的中点， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、等角对等边等知识．求出，得到，则，设，根据即可求出答案． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得 即 故选：C. 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据折叠的性质得，，，即，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，进行计算得，即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C落在边的点， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， 解得， ∴的面积为：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点在边 上且，，连接，将沿进行折叠，点的对应点为点，点是的中点，连接，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，延长至，使得，延长交于点，则有，由折叠性质可知，，，，设，则，故有，根据直角三角形性质可得，所以，则，从而可得，设，则，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠性质可知，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 【答案】6 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵将长方形折叠，使点与点重合， ∴， 设，则：， 在中，由题意，得：， 则：， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为：6． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设，则，在中勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：设，则 在中， ∴ ∴ 在 中， ∴ 故答案为：． 题型三：勾股定理与无理数的综合 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上的无理数， 先根据勾股定理求出，再根据得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 解得， 根据题意，得， 所以点P所表示的数是， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出的长． 根据勾股定理求出的长，再由进而求出的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：点的坐标分别为， ， ， ， ， 则的面积为； 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由题意可得，由勾股定理可得，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵点表示实数， ∴点对应的实数是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（    ） A．1.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，然后根据勾股定理求出长，结合A点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， 且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：D． 5．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点C的横坐标是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出，因为以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴ 依题意， ∵点A在负半轴， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，设，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点． ∵， ∴， ∴由勾股定理得 ∵对角线平分， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 设． 由勾股定理得． 为的中点， ． ，即． 解得． 代入，得． 故答案为：． 题型四：利用勾股定理求面积 1．（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，平分，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长与交于点E，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，延长与交于点E， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形中，，，且，，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．连接，根据四边形的面积三角形的面积 + 三角形的面积求解即可． 【详解】如图，连接， 又∵， 由勾股定理得，， ∴四边形的面积 ． 故选：B． 4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积.连接，根据已知和等腰三角形的性质得出和，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接， ∵，D为的中点，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，中，，点是边上一点，连接．若，且，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，作于点E，利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用面解法求出，由勾股定理得，把①代入②即可求出的长． 【详解】解：作于点E， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 题型五：已知两点坐标求两点距离 1．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式． 根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【分析】解：点到原点的距离为：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可. 【详解】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：； 因此，线段的长度为5， 故选：C 3．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，，，是坐标原点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·山东·二模）已知直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，连接原点与顶点，则下列线段中长度最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中求两点距离，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ∴最长的线段是， 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，则这两点间的距离为．先利用两点间的距离公式得到，再利用非负数的性质得到时，的最小值为16，从而得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为16， ∴的最小值为，即最小值为4． 故答案为：4． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】＝ 【分析】连接，判断和是等腰直角三角形，即可得到．本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识． 【详解】解：连接，如图 ∵点，点，点，点，点， 由勾股定理与网格问题，则，， ∴△ABC是等腰直角三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴△ADE是等腰直角三角形； ∴； 故答案为：=． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及平面直角坐标系的两点间距离，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线得出，则，整理得，因为点P与点的距离等于，所以，再解方程，即可作答． 【详解】解：设， ∵P是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵，， 即， ∴， ∵点P与点的距离等于， ∴， 把代入，， 解得 则， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有点、，点C在y轴上，如果，那么点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离公式，设，则，根据列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 题型六：判断能否组成勾股数 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； B、1.5，2.5为小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，选项错误； C. 6，8，12为整数，但，不满足勾股定理条件，选项错误； D. 9，40，41为整数，且，符合勾股数定义，选项正确； 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平方），逐一验证各选项即可． 【详解】解：A 1，2，3：均为正整数，但最大数3的平方为9，而，不满足勾股定理． B．4，5，：不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件． C． 7，24，25：均为正整数．验证平方和：，，满足勾股定理． D． 0.6，0.8，0.9： 均为小数而非正整数，直接排除． 故选：C 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为， 故选：B． 5．（24-25八年级下·重庆南川·期末）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键． 观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的表达式． 【详解】解：第1组到第4组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第组的第一个数为． 第二个数依次为4，12，24，40，可表示为，展开后为． ∴斜边为前两个数的平方和的平方根， 即：， ∴ ∴ ∴斜边， 故选：B． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数． 【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意； B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意； C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意； D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意． 综上，只有选项A符合条件． 故选A． 8．（24-25八年级下·广西贵港·期中）下列各组数是勾股数的是（   ） A． B．1，， C．16，12，20 D．8，15，19 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方的三个正整数是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：显然选项A、B中的三个数非正整数，不符合题意； ∵，且三个数都是正整数， ∴它们是勾股数； ∵， ∴它们不是勾股数； 故选：C． 题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、． ∴，， ． ∵是直角三角形，， ∴ ． ∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ∴；； ． ∴ ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故选：B． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为． ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用． 根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、， ∴在中，， ∴， 即， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到，，即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理可知，，，， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ∵正方形、、的面积依次为，，， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1， 由勾股定理，得：4号正方形的面积为：， ②号正方形的面积为：， 5号正方形的面积为：， ①号正方形的面积为：； 故答案为：16． 10．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为： 题型八：勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是． 【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段， 则，，，， 在中，， 在中，， ，，， 的三边，，中无理数是． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：A 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键． 如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 8．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先得到，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由题意得， ∴ ∴． 故选：A． 题型九：勾股定理中折叠问题 1．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为，则长方形纸的面积为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 由最后一个图可知即为长方形纸的长，由折叠的性质知，由勾股定理得，计算即可． 【详解】如图，由最后一个图可知即为长方形纸的长， 由折叠可知， ∴ ∴长方形纸的面积为， 故选：A． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 7．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 题型十：以弦图为背景的勾股定理 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，，则大正方形的面积为，由小正方形的面积可得，再结合，利用完全平方公式的结构特征求出的值，即可得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，． 大正方形的边长直角三角形的斜边长， 大正方形的面积为， 小正方形面积为5， ， ， ， ， ， 即大正方形面积为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 6．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：5 ． 7．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理，进而得到，最后求小正方形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 题型十一：勾股定理综合应用 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点、分别为、上的点，连接、． (1)若，平分，，，求的长度； (2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定． （1）先证明得，，，再由勾股定理求出，设，则，在中，，可得关于x的方程，解方程即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即； （2）证明：在中，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 4．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出的长，在中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：，，， ， （负值已舍）； 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 6．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先利用因式分解可得，再根据可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，，则可得，再利用勾股定理的逆定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴，即， ∴此三角形是等腰三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 7．（24-25八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理． （1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可； （2）在中，利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； ； （2）解：∵，， 在中，， ∵的垂直平分线， ∴． 8．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； （2）解：在中， ， ， ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进而得出答案； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点设，则，，根据勾股定理得出，求出．得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点 设，则，， ∴， ，， ， ． ，， ， ． 题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，然后减去B距离O的距离即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即． 当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是， 故滑块滑动了． 故答案为： 5．（24-25八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 6．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出，由求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量风筝放飞的垂直高度 测量示意图 测量数据 记录长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米． 解决问题 任务一 如上图，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】任务一：米，任务二：8米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升12米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【详解】解：任务一：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． 任务二：风筝沿方向再上升12米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【答案】(1)； (2)17米 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∴风筝距离地面的高度的长为 （2）如图，由题意可知： 在中，由勾股定理得，（m） ∴ ∴嘉嘉需往后退 题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 6．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ； 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 所以的取值范围是：． 故选：． 3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，设水深尺，则尺，尺，根据勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：设水深尺，则尺，尺， 水池的边长为尺， 尺， 在中，， ， 解得： 水深为尺． 故答案为： ． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 7．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 【答案】米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题 1．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 5．（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 6．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)轮船继续向正东方向航行是安全的 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用． （1）作于H，可知，根据平行线的性质得到，，即可求出的度数； （2）根据等角对等边得到海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：作于H， 则， ∴，， ∴； （2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处， ∴海里， ∵， ∴海里， ∵，， ∴海里， ∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 7．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】(1)32；24 (2)“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出的长，再证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，海里， 海里； （2）解：由题意得，海里， 海里； ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 题型十七：勾股定理的实际应用之水杯中台阶上地毯问题 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题主要查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出水平的直角边长度，即可求解． 【详解】解：水平的直角边长度为， （元）， 即购买这种地毯至少需要2800元． 故答案为：2800． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 题型十八：勾股定理的实际应用之水杯中判断汽车是否超速问题 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 7．（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 9．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 10．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 题型十九：勾股定理的实际应用之水杯中判断是否受台风影响 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心的范围是受台风干扰的区域，问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出城受台风干扰的时间． 【答案】A城会受到此次台风的干扰，干扰的时间为小时，理由见解析 【分析】本题考查了含度角的直角三角形以及勾股定理，作，则得出，根据，可得出的长，则城会受到此次台风的干扰；以为圆心，为半径作弧交于、两点，连接，在中有的长，可得出，从而得出城受台风干扰的时间，是基础知识要熟练掌握． 【详解】解：作于点，则． ，， ， 城会受到此次台风的干扰，以为圆心，为半径作弧交于、两点，连接． ， ， 在中，有， ， 城受台风干扰的时间为：（小时）． 6．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 题型一：勾股定理中最值问题 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接，证明当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， 即当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长． ∵中，， ， ∴， 又∵P为的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点作，且，连接，，根据得到，即可得到，然后得到当M、P、C三点共线时，最小为，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作，且，连接，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即当M、P、C三点共线时，最小为， 这时， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，由角平分线的性质得到，根据可得；证明是等腰直角三角形，得到，，再证明都是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到，，则；作点B关于的对称点M，连接，可证明，由轴对称的性质可得，，则当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理得，即的最小值为10， 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G， ∵，平分， ∴； ∵，，且， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，作点B关于的对称点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 5．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接，根据轴对称的性质可得，，从而得到为等边三角形，当点D、P、Q三点共线时，取最小值，当时，取最小值，最小值为的长，再结合勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴当点D、P、Q三点共线时，取最小值，又点P，Q均为动点，∴当时，取最小值，最小值为的长，∵为等边三角形， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，为等边三角形，点D和点E分别在和边上，连接交于点F．如图1，当，时， ；如图2，当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定、旋转变换及三角形三边关系。掌握利用旋转变换转化线段关系及结合三边关系求最值是解题的关键．解题时先证明得到，再在上截取，连接，证明，得到，进而证得，则，即可求出； 第二空过点作，过点作，先设出线段长度表示相关边，再建立的代数式，并求出其最小值即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作，过点作， 设等边的边长为a，， ∵， ∴， ∴， ， ， 等边中，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：；． 题型二：利用勾股定理求线段平方和差问题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则 ． 【答案】5或13 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； 综上所述：的长为5或13． 故答案为：5或13． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 题型三：勾股定理证明和差关系（解答题） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据等边对等角可得，，进而根据三角形的外角的性质得出； （2）过点作交的延长线于点，交于点，根据平行线的性质以及余角的定义得出，则，等量代换得出，证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）当时，由（2）可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出关系式；当时，先证明，同理可得，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，    ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时， 如图所示，    设，， 由（2）可得是等腰直角三角形，， ∴，， 在中，， ∴ 当时，如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴， 当时，，等式仍然成立， ∴当时，， 综上所述，当时，；当时，． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）由勾股定理得，，根据，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求，理由如下： ∵直线为线段段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即点P符合题意． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 题型四：勾股定理证明（解答题） 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 2．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 4．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明，解本题的关键是掌握勾股定理． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）根据两种方式表示出直角梯形，即可证明勾股定理； （3）根据平行线的性质得到，求得，得到，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为： C；                      （2）如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， 解得： 7．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)结论还能成立，见解析 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过O点作垂直与分别交于点，设，根据勾股定理分别表示出，， ，，即可证明； （2）结论仍成立，同（1）思路即可证明． 【详解】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． （2）解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 题型五：勾股定理构造图形解决问题 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①，；②5 (2) 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 5．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 6．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 1．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P的坐标为，以点O为圆心．以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．则A点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系内两点间距离，掌握勾股定理是解题的关键． 根据点P的坐标求出的长度，进而可得的长度，再根据点A所在位置，即可求解． 【详解】解：点P的坐标为， ， ， 点A在x轴的负半轴， A点表示的数为， 故选A． 5．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解． 【详解】解：∵中，， 故； ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴， 则， ∴， 故， 同理，， ∵， 则， 即， 故选：A． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了网格与勾股定理，实数与数轴，正确理解题意利用勾股定理求得是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E所表示的数是， 故选：D． 7．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 8．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河北张家口·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如图1所示的边长为的正方形七巧板（由5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2所示，则图2中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，首先根据七巧板的特点得到，，由勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，， ， ， ， 阴影部分的周长为: ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求出，从而求出，设点表示的数为，然后根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：由题意可知：， 正方形的面积为， ， 设点表示的数为， ， 解得：， 点表示的数为：， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间． 【详解】解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 13．（2025·广东广州·二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以的角度对准塔楼的顶部． (1)当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离； (2)如果无人机的摄像头角度调整为，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号） 【答案】(1)无人机与塔楼顶部的水平距离为50米； (2)无人机向左飞行的水平距离为米． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设塔楼的底部为点E，则地面，延长交于点D，米，米，得到是等腰直角三角形，即可得出答案； （2）由米，得到米，由勾股定理求出米，即可求解． 【详解】（1）解：设塔楼的底部为点E，则地面，延长交于点D，米，米， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 答：无人机与塔楼顶部的水平距离为50米； （2）解：∵米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：无人机向左飞行的水平距离为36.5米． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 15．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，，，，，， (1)求的长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：在中，， ． ∵， ． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 17．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 【答案】(1)D (2)50米 (3)10 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解轴对称的性质． （1）如图，根据轴对称的性质作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，根据三角形三边关系可解本题； （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．过点作，与的延长线交于点．根据勾股定理求得即可求解； （3）如图，设线段，作，取，，的值可看作的值． 【详解】（1）解：选：D， 理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接， 由轴对称的性质可得：， ，， 在中，， ， 故选：D． （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程． 过点作，与的延长线交于点， 则． 在中，米，米． （米）． （3）如图，设线段， 作，取，， 的值可看作的值． 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长． 作于点， ∴ 则， ， 的最小值为10． 1 / 172 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 探索勾股定理（第一课时） 题型一：利用勾股定理直接求解 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，，点D在的延长线上，且，连接，E为中点，则的长是（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）在中，有两条边的长分别为1，2，则斜边的长为（   ） A．2或 B．2或 C． D． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（    ）    A．5 B．10 C． D． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，，若，则长度为（　　） A．2 B． C． D． 题型二：利用勾股定理列方程求解 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，，，，点O是的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点在边 上且，，连接，将沿进行折叠，点的对应点为点，点是的中点，连接，当时， ． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ． 题型三：勾股定理与无理数的综合 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（    ） A．1.5 B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 ． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为 ． 题型四：利用勾股定理求面积 1．（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，平分，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形中，，，且，，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D． 4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为 ． 7．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，中，，点是边上一点，连接．若，且，则线段的长为 ． 题型五：已知两点坐标求两点距离 1．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，，，是坐标原点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·二模）已知直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，连接原点与顶点，则下列线段中长度最长的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为 ． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“>”“=”或“<”）． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有点、，点C在y轴上，如果，那么点C的坐标是 ． 题型六：判断能否组成勾股数 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（   ）． A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 5．（24-25八年级下·重庆南川·期末）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广西贵港·期中）下列各组数是勾股数的是（   ） A． B．1，， C．16，12，20 D．8，15，19 题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为 ． 8．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ． 10．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 题型八：勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 题型九：勾股定理中折叠问题 1．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为，则长方形纸的面积为（   ） A． B． C．2 D．3 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 7．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 题型十：以弦图为背景的勾股定理 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 3．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 6．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    7．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 题型十一：勾股定理综合应用 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点、分别为、上的点，连接、． (1)若，平分，，，求的长度； (2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形． 4．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 7．（24-25八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，时，求的长． 8．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 5．（24-25八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 6．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量风筝放飞的垂直高度 测量示意图 测量数据 记录长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米． 解决问题 任务一 如上图，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 6．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 7．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题 1．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 5．（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 6．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 7．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 题型十七：勾股定理的实际应用之水杯中台阶上地毯问题 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 题型十八：勾股定理的实际应用之水杯中判断汽车是否超速问题 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 7．（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 8．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 9．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 10．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 题型十九：勾股定理的实际应用之水杯中判断是否受台风影响 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心的范围是受台风干扰的区域，问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出城受台风干扰的时间． 6．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 题型一：勾股定理中最值问题 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是 ． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，为等边三角形，点D和点E分别在和边上，连接交于点F．如图1，当，时， ；如图2，当时，的最小值为 ． 题型二：利用勾股定理求线段平方和差问题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则 ． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 6．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    题型三：勾股定理证明和差关系（解答题） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 题型四：勾股定理证明（解答题） 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 2．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 4．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 7．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 题型五：勾股定理构造图形解决问题 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 5．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 6．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 1．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P的坐标为，以点O为圆心．以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．则A点表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 8．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 10．（24-25八年级下·河北张家口·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如图1所示的边长为的正方形七巧板（由5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2所示，则图2中阴影部分的周长为 ． 11．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 12．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（，结果精确到秒）． 13．（2025·广东广州·二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以的角度对准塔楼的顶部． (1)当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离； (2)如果无人机的摄像头角度调整为，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号） 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 15．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，，，，，， (1)求的长； (2)求图形中阴影部分的面积． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 17．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 1 / 172 学科网（北京）股份有限公司 $$