3.1 列代数式表示数量关系 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

3.1 列代数式表示数量关系 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子称为代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 举例： 二、代数式的书写规范 乘号省略：数字与字母相乘时，乘号可省略，数字写在字母前。 例： 带分数转换：带分数与字母相乘时，需化为假分数。 例：。 除法形式：除法运算写成分数形式。 例： 单位处理：若代数式是和或差的形式且后接单位，需用括号括起。 例： 米。 三、列代数式的核心步骤 分析数量关系：明确题目中的已知量与未知量，识别关键词（如 “和”“差”“积”“商”“倍”“分” 等）。 例：“a的 3 倍与 5 的差” 对应”。 分层拆解问题：对于复杂问题，分步列出代数式。 例：“某数的平方与它的倒数的和” 可先表示平方 验证运算顺序：注意 “平方和” 与 “和的平方” 等易混淆表述。 例：“a与b的平方和” 为 。 四、常见数量关系的代数式表示 价格问题：总价 = 单价 × 数量。 例：单价a元的商品买m件，总价为 am 元。 几何问题： 行程问题：路程 = 速度 × 时间。 例：速度v km/h，时间t小时，路程为 vt km。 数字表示：两位数的十位数字a、个位数字b，表示为 。 五、典型例题与应用 基础题型： 例：用代数式表示 。 实际应用： 例：某工程队d天铺设2 km 管道，日均铺设长度为  km。 规律探索： 例：第n个图形的小正方形个数为。 六、注意事项 排除非代数式：含等号、不等号的式子不属于代数式。 系数与项：单项式中的数字因数为系数，单独字母的系数为 1。 例：。 关键词辨析： “增加 2 倍” 即原数的 3 倍，“增加到 2 倍” 即原数的 2 倍。 “除” 与 “除以” 的区别：a除b写作 。 七、易错点提醒 书写规范：避免出现 等错误。 运算顺序：明确 “先乘方，后乘除，再加减” 的优先级。 例：“a与b的差的平方” 为 。 专项练习 一、选择题 1．用代数式表示： “ 的相反数与 的 3 倍的差”，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．n个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有队各赛一场），总的比赛场数是（　　） A． B． C． D． 3．某商品原价为a元，以（）元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（　　） A．先打3折，再降5元 B．先降5元，再打3折 C．先打7折，再降5元 D．先降5元，再打7折 4．某超市一商品的进价为 元，将进价提高50%后作为售价，“十·一”国庆节期间又以8折的价格促销，那么促销期间每个这种商品的利润为（　　） A．0.1m元 B．0.2m元 C．0.4m元 D．1.2m元 5．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 6．七（1）班开展读书活动，需购买甲，乙两种读本共100本，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为6元/本．设购买甲种读本a本，则购买乙种读本的费用为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 7．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成4个大小不同的正方形①②③④和1个长方形⑤，则要计算这个大长方形的周长，只需要知道 （　　） A．①的边长 B．②的边长 C．③的边长 D．④的边长 8．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．用代数式表示“的平方的倍与的差的一半”为　 　． 10． 某地某日的温差为10℃，这天的最高温度为t ℃，则最低温度可表示为　 　. 11．某商品的进价为每件a元，商店将价格提高20%作为零售价销售，在销售旺季过后，商店又以九折的价格开展促销活动，此时该商品每件的利润为　 　. 12．已知一个三位数的百位数字是a，个位数字比百位数字小2，十位数字是百位数字的2倍，试用代数式表示出这个三位数为　 　。 13．某同学参加了7.5km健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x( km)的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为　 　 km。(用含x的代数式表示) 14．轮船在静水中的航行速度为水流速度为b(km/h)，轮船顺水航行5h的路程是　 　km，轮船逆水航行5h的路程是　 　km，该轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多　 　km。 15．甲乙两人加工同一种零件，甲每小时加工了个． 甲一天总共加工了小时；乙每小时加工了个，乙一天总共加工了小时．一天内甲乙两人共加工了　 　个零件． 16．某快递公司同城寄件的收费标准如下：寄一件物品，不超过1千克时付费10元；超出1千克的部分每千克加收2元.乐乐在该公司向同城内的另一地寄一件物品，物品重x(x>1)千克，则他需支付　 　元(用含x的代数式表示). 三、解答题 17．甲、乙两品牌上衣的单价分别为x元、y元。在换季时，甲品牌上衣按四折（即原价的40%）销售，乙品牌上衣按六折销售。这时购买两种品牌上衣各一件，共需多少元? 18．小兴与小明相约阅读同一本爱国书籍，小兴每天读56页，读完这本书用了5天． （1）若小明每天读y页，x天刚好读完这本书．请问小明每天的阅读量与阅读的天数成什么关系？理由是什么？ （2）小明按照小兴的阅读速度阅读t天，他读了多少页？还剩多少页？已阅读量与剩下的阅读量成反比例关系吗？为什么？ 19．如图，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米（b＞2r）.请分别用含 a，b，r的式子表示草地和空地的面积. 20．将形状相同、大小相等的长方形A、B和形状相同，大小相等的长方形C、D按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形． （1）若长方形A的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为x，用含x的式子表示拼成的大长方形的长和宽． （2）当长方形A的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形A的周长的关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：的相反数可表示为，的3倍可以表示为， 所以的相反数与的三倍的差可表示为． 故答案为：A． 【分析】根据题意列代数式即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：n支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为． 故答案为：A． 【分析】根据题意直接列出代数式即可。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：元，表达的是该商品出售价格先打7折，再降5元. 故答案为：C. 【分析】理解乘除法与加减法的先后顺序，即先执行乘法（打7折），后进行减法运算（降5元）. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： 此时该商品的价格为（1+50%）m×0.8=1.2m元． 利润为1.2m-m=0.2m元． 故答案为：B． 【分析】根据题意，可用含m的代数式表示出打折后这件商品的价格，本题得以解决。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵质量为a克的电线长1米， ∴质量为b克的电线长米. ∴原来这卷电线的总长为（+1）米. 故答案为：D . 【分析】由质量为a克的电线长1米，可以求出质量为b克的电线长几米，再加上刚才截取的1米即可得到电线总长. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意，因为需购买甲，乙两种读本共100本，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为6元/本．设购买甲种读本a本， 所以购买乙种读本的费用为元， 故选：D． 【分析】本题考查了列代数式，设购买甲种读本a本，先表示购买乙种读本为本，再与它的单价相乘，即可作答． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：记正方形①、②、③、④的边长分别为a，b，c，d. 则这个大长方形的周长=2[c+d+(b+c))]=2(2c+b+d)， ∵a=c-b=d-c，∴b+d=2c， ∴这个大长方形的周长=2(2c+b+d)=2(2c+2c)=8c. 因此只要知道③的边长即可计算这个大长方形的周长. 故答案为：C. 【分析】本题利用大长方形的周长计算公式，先用a、b、c、d来表示大长方形的周长，然后利用a=c-b=d-c和b+d=2c来进行化简，最后发现大长方形的周长是8c，这就意味着其他的条件不重要，但是c是未知数始终无法求出。因此只需要知道c即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵已知参加“学科类选修课程”的有m人，参加“体音美选修课程”的人数比参加“学科类选修课程”的人数多9人， ∴参加“体音美选修课程”的人数有：人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比参加“体音美选修课程”人数的多5人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为：， 故选：B． 【分析】本题主要考查了列代数式， 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 ，根据时间=路程÷速度，列出代数式，即可求解． 9．【答案】 【解析】【解答】解：根据的平方的倍与的差的一半为， 故答案为∶． 【分析】根据语句列代数式解题． 10．【答案】(t-10)℃ 【解析】【解答】解：由题意得， 最低温度可表示为 (t-10)℃。 故答案为：(t-10)℃. 【分析】当日最高温-当日最低温=当日温差，由此即可求出当日最低温。 11．【答案】0.08a 【解析】【解答】解：a（1+20％）×90％-a=1.08a-a=0.08a. 故答案为：0.08a. 【分析】根据售价-进价=利润，即可求得. 12．【答案】121a-2 【解析】【解答】解：根据题意可知，个位数字是a-2，十位数字是2a， 所以这个三位数是100a+2a×10+（a-2）=121a-2 故答案为：121a-2. 【分析】根据已知条件，分别表示出个位数字和十位数字，进而表示出这个三位数的表达式，再进行化简即可. 13．【答案】(7.5-10x) 【解析】【解答】根据题意可知：他起点开始以平均每分钟x( km)的速度跑了10分钟，跑的路程为10x km，则他离健康跑终点的路程为（7.5-10x）km， 故答案为：（7.5-10x）. 【分析】根据题意列出代数式即可. 14．【答案】(5a+5b)；(5a-5b)；10b 【解析】【解答】解：轮船顺水航行时船速为(a+b) (km/h) ， 顺水航行5h的路程是 5(a+b)=5a+5b (km)； 轮船逆水航行时船速为(a-b) (km/h) ， 逆水航行5h的路程是 5(a-b)=5a-5b(km)； 该轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多 (5a+5b)-(5a-5b)=10b(km)； 故答案为：5a+5b；5a-5b；10b. 【分析】轮船顺水航行时速度=在静水时的航行速度+水流速度，轮船逆水航行时速度=在静水时的航行速度-水流速度，结合路程=速度×时间即可求解. 15．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得，甲加工的零件数为a个，乙加工的零件数为个， ∴甲、乙二人共加工零件个， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，结合甲小时加工的零件数加上乙小时加工的零件数，列出代数式，即可得到答案． 16．【答案】(2x+8) 【解析】【解答】解：∵x＞1，超出一千克， ∴乐乐需支付10元外，还需支付超出的部分(x-1)千克的费用， 共：10+2x(x-1)=2x+8元 故答案为：(2x+8) . 【分析】根据题意，乐乐在该公司寄市区内的一件物品，重x(x>1)千克，则需支付10+2(x-1)元，化简即可. 17．【答案】解：∵甲、乙两品牌上衣的单价分别为x元、y元。在换季时，甲品牌上衣按四折（即原价的40%）销售，乙品牌上衣按六折销售， ∴换季时，甲品牌上衣价格为：元，乙品牌上衣价格为：元， ∴购买两种品牌上衣各一件，共需元. 【解析】【分析】根据题意计算得到换季时，甲品牌上衣价格为：元，乙品牌上衣价格为：元，最后将两者相加即可. 18．【答案】（1）解：小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系，理由如下： 由题意可知，这本书籍的页数为页， 若小明每天读y页，x天刚好读完这本书，则， 的乘积是定值， 小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系. （2）解：由题意可知，小兴的阅读速度为每天读56页， 则小明按照小兴的阅读速度阅读t天，他读了页，还剩页， 已阅读量与剩下的阅读量不成反比例关系，因为反比例关系是两种相关联的量乘积为定值，而已阅读量与剩下的阅读量的和为定值，乘积不是定值，所以不成反比例关系． 【解析】【分析】（1）根据题意，这本书籍的页数为页，得到，再根据反比例关系的定义，经销判断，即可得到答案； （2）根据已阅读量阅读速度天数，剩下的阅读量总页数已阅读量，列式得到页，再根据反比例关系定义，进行判断，即可求解． （1）解：小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系，理由如下： 由题意可知，这本书籍的页数为页， 若小明每天读y页，x天刚好读完这本书，则， 的乘积是定值， 小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系； （2）解：由题意可知，小兴的阅读速度为每天读56页， 则小明按照小兴的阅读速度阅读t天，他读了页，还剩页， 已阅读量与剩下的阅读量不成反比例关系，因为反比例关系是两种相关联的量乘积为定值，而已阅读量与剩下的阅读量的和为定值，乘积不是定值，所以不成反比例关系． 19．【答案】解：∵长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，圆形的半径为r米， 平方米， ∵长方形的长为a米，宽为b米， ∴S空地= S长方形- S草地=（ab-）平方米. 【解析】【分析】已知四个角都有一块半径为r的四分之一圆形草地，故草地的面积为πr2，根据长方形面积公式求出长方形广场的面积，相减即可到空地的面积. 20．【答案】（1）解：大长方形长为6-x，大长方形的宽为x+2 （2）解：拼成的大长方形的周长始终是长方形A的周长的2倍； 设长方形A的长为a ，宽为b，中间正方形的边长为x， 则拼成的大长方形长、宽分别为（2a-x)、（x+2b），由题意得：大长方形的周长为 2[（2a-x）+（x+2b）] =4a+4b =2(2a+2b) 答：长方形A的周长变化，拼成的大长方形的周长始终是长方形A的周长的2倍 【解析】【分析】（1）根据题中图形，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，则拼成的长方形宽为，长为； （2）设长方形的长为 ，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为（2a-x)、（x+2b），根据题意列式化简，即可得到答案 学科网（北京）股份有限公司 $$