4.1 整式 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

4.1 整式 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、整式的定义 核心概念：单项式和多项式统称为整式。 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 举例：3x、、5、a均为单项式。 多项式：几个单项式的和组成的代数式。 举例：均为多项式。 非整式：分母含字母的式子不属于整式。 二、单项式的核心要素 系数：单项式中的数字因数（包括符号）。 举例。 次数：单项式中所有字母的指数和。 举例：，单独的数（如7）次数为0。 易错点： 字母的指数为1时需计入总和（如ab的次数是1+1=2）。 数字的指数。 三、多项式的核心要素 项：多项式中的每个单项式称为项，不含字母的项为常数项。 举例：多项式、7三项，常数项是7。 次数：多项式中次数最高的项的次数。 举例：多项式。 命名：按项数和次数命名，如是二次二项式。 排列： 降幂排列：按某个字母的指数从高到低排列。 例：将。 升幂排列：按某个字母的指数从低到高排列。 例：将。 四、整式的书写规范 乘号省略：数字与字母相乘时，乘号可省略，数字写在字母前。 例：写作ab。 带分数转换：带分数与字母相乘时，需化为假分数。 例：。 除法形式：除法运算写成分数形式。 例：。 单位处理：若代数式是和或差的形式且后接单位，需用括号括起。 例：米。 五、典型例题与应用 单项式分析： 例：指出单项式的系数和次数。 答案：系数是。 多项式分析： 例：多项式是几次几项式？常数项是什么？ 答案：三次三项式，常数项是。 实际应用： 例：某窗户由四个边长为a的小正方形和一个半径为a的半圆组成，求窗户面积。 答案：面积为 多项式排列： 例：。 答案：。 六、同类项的初步认识（人教版 4.1 简要涉及） 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项。 例：。 判断要点： 与系数无关，与字母的排列顺序无关。 例：2ab与3ba是同类项，但不是同类项。 七、注意事项与易错点 单项式系数符号： 错例：，而非1。 多项式次数判断： 错例：多项式。 多项式项的符号： 错例：多项式，而非2x。 整式与代数式的区别： 整式是代数式的子集，代数式包含整式和分式（分母含字母的式子）。 八、巩固练习 基础题： 判断下列式子是否为整式：3、。 答案：整式为3。 单项式分析： 写出单项式的系数和次数。 答案：系数。 多项式分析： 多项式是几次几项式？常数项是什么？ 答案：四次三项式，常数项是5。 多项式排列： 将多项式按a的升幂排列。 答案：。 实际应用： 某工程队d天铺设2 km 管道，日均铺设长度用整式表示为？ 答案：km（注意：若d为变量，此式为整式；若d为分母中的字母，则为分式，需根据题目条件判断）。 九、拓展思考 整式的动态特性： 代数式的值随x的变化而变化，体现了代数的动态性。 数学思想： 多项式排列体现了 “有序化” 思想，通过降幂或升幂排列使表达式更清晰。 同类项的概念为后续合并同类项奠定基础，体现了 “分类整合” 的数学方法。 专项练习 一、选择题 1．下列说法中正确的是（　　） A． 是单项式 B． 的系数是 C． 的次数是 D．多项式 是四次三项式 2．下列各式中，是二次三项式的是（　　） A． B．32+3+1 C．32+a+ab D．x2+y2+x﹣y 3．式子 中， 单项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．单项式的系数和次数分别是（　　） A．2和4 B．和4 C．和2 D．和6 5．下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A． B． C． D． 6．下列代数式中，是次数为3的单项式的是（　　） A． B．3 C． D． 7．设单项式的系数为，次数为，则（　　） A． B． C．4 D．12 8．若是关于的二次多项式，则，的值可以是（　　） A．0，0 B．0， C．2，0 D．2， 二、填空题 9． 的系数是　 　，次数是　 　. 10．把整式按照字母m降幂排列为　 　． 11．整数　 　时，多项式是三次三项代数式． 12．若把单项式的系数记为a，次数记为b，则的值为　 　． 13．关于 的单项式 的次数为 7，则 的值为　 　. 三、解答题 14．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求． 15．已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 16．有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1 （1）请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内： （2）填空：单项式中　 　的次数最高，次数是　 　． 17．已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 18．游戏规则：（1）每人每次抽取4次卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上式子最高次项的系数；如果抽到黑色卡片，那么减去卡片上式子的常数项；（2）比较两人所抽取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 小玉抽到了如图①的4张卡片： 小明抽到了如图②的4张卡片： 他们两人谁获胜了？． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】A.2是单项式，此选项符合题意； B.3πr2的系数是3π，此选项不符合题意； C． 的次数是3，此选项不符合题意； D．多项式5a2﹣6ab+12是二次三项式，此选项不符合题意． 故答案为：A． 【分析】根据单项式和多项式的概念解答即可． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、a2+ ﹣3是分式，故选项错误； B、32+3+1是常数项，可以合并，故选项错误； C、32+a+ab是二次三项式，故选项正确； D、x2+y2+x﹣y是二次四项式，故选项错误． 故选C． 【分析】由于多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中所有单项式的个数，由此可确定所有答案的项数和次数，然后即可作出选择． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：单项式有，一共2个. 故答案为：B 【分析】由一个数字与一个字母的积或一个字母与一个字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)，据此可得到单项式的个数. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：单项式的系数为﹣4，次数为2+4=6． 故答案为：D． 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A. 中 是多项式，故此选项错误； B. 中 是分式，不是单项式，故此选项错误； C. 中全部都是单项式，故此选项正确； D. 中 是多项式，故此选项错误. 故答案为：C. 【分析】数或字母的乘积就是单项式，单独的一个数字或一个字母也叫做单项式，对照选项逐一验证即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】A：，次数为4，不符合题意； B：3，次数为0，不符合题意； C：，是多项式，不符合题意； D：，次数为3，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母指数之和进行求解即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意可得：，， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据单项式的系数和次数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和）得出，的值，再代入计算即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是关于的二次多项式， ∴ 解得： 故答案为：C. 【分析】根据多项式的次数和项，结合题意得到，解此方程组即可求解. 9．【答案】；7 【解析】【解答】解： 单项式的系数是 ，次数为7， 故答案为： ，7． 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案． 10．【答案】 【解析】【解答】解：把整式按照字母m降幂排列为， 故答案为：． 【分析】本题考查按降幂排列多项式.先求出每一个单项式字母m的次数，再按照字母m的指数从高到低重新排列多项式可得：，据此可求出答案． 11．【答案】1 【解析】【解答】由题意得：2+n=3，2-n=3， 解得：n= 1 【分析】根据 多项式是三次三项代数式． 列出关于n的方程，解方程即可求得结论. 12．【答案】-1 【解析】【解答】解：∵单项式-x2y的系数为-1，次数为3， ∴a=-1，b=3， ∴ab=（-1）3=-1. 故答案为：-1. 【分析】单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，据此可得出a、b的值，再根据有理数的乘方运算法则计算可得答案. 13．【答案】5 【解析】【解答】解：∵关于x，y的单项式的次数为7， 解得： 故答案为： 5. 【分析】利用单项式次数的定义即可求出m的值. 14．【答案】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与多项式的次数相同， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查了多项式的定义及其应用，由多项式是六次四项式，得到，求得m的值，再由单项式的次数是6，得到，分别求得m和h的知，进而求得的值，得到答案． 15．【答案】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为， 或，解得：或， 单项式与该多项式的次数相同，， 把代入得：，解得：，， 多项式为，三次项系数为1和 【解析】【分析】根据多项式的次数和项数结合题意得到或，则或，再根据单项式的次数结合题意得到，进而得到，从而即可求解. 16．【答案】（1）解：填入的序号如图所示： （2）⑦； 【解析】【解答】（1）填入的序号如图所示： （2）单项式的有：③④⑦⑧， ③的次数为，④的次数为，⑦的次数为，⑧的次数为， ∴单项式中⑦的次数最高，次数是． 故答案为：⑦， 【分析】（1）根据代数式的定义、单项式的定义和多项式的定义进行分类，进而即可求解； （2）根据（1）结合单项式的系数进行比较，进而即可求解。 17．【答案】（1）解：由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0， 解得：m＝﹣1，n≠2， 则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式 （2）解：由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0， 解得：m≠﹣1，n＝2， 把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5， 则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式 【解析】【分析】（1）根据多项式的次数结合题意得到m+1＝0，且n﹣2≠0，则m＝﹣1，n≠2； （2）根据多项式的次数和系数得到m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，则m≠﹣1，n＝2，再代入n即可求出m. 18．【答案】解：小王所抽取的卡片的计算结果是-（+4）+1-0+2=-1，小明所抽取的卡片的计算结果是0+3-（-5）+（-1）=7，因为-1<7，所以小明获胜． 【解析】【分析】按照 游戏规则计算结果后，再比较。最高次项的系数就是多项式中次数最高的项的系数，常数项就是不含字母因数的项 学科网（北京）股份有限公司 $$