4.2 整式的加法与减法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

4.2 整式的加法与减法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、基础概念 单项式 定义：由数字或字母的积组成的代数式（单独的一个数或字母也是单项式）。 系数：单项式中的数字因数（包括符号），如 。 次数：所有字母的指数和，如  的次数是。 注意： 系数为 1 或 - 1 时，“1” 通常省略不写 。 多项式 定义：几个单项式的和。 项：多项式的每个单项式，不含字母的项称为常数项。 次数：次数最高项的次数，如是三次多项式。 整式：单项式与多项式统称整式。 二、核心法则 同类项 定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项。 判别： 两相同：字母相同，相同字母的指数相同。 两无关：与系数无关，与字母排列顺序无关（如 ab 与 ba 是同类项）。 合并同类项： 法则：系数相加，字母和指数不变。 步骤：一找（标记同类项）、二移（交换位置）、三合（系数相加）。 去括号法则 括号前为正号：直接去括号，各项符号不变。 括号前为负号：去括号后各项变号。 注意： 多重括号按从内到外或从外到内逐步去括号。 括号前有数字因数时，需分配到每一项。 三、整式加减运算 基本步骤 去括号：根据符号法则处理括号。 合并同类项：将同类项的系数相加，字母部分不变。 结果要求： 无同类项可合并，且按某一字母的降幂或升幂排列。 避免带分数，需化为假分数。 典型例题 例 1：计算解：去括号得 ，合并同类项得 。 例 2：化简求值  解：去括号得。 四、易错点与技巧 常见错误 漏变号：括号前为负号时，未改变所有项的符号 漏乘：括号前有数字因数时，未分配到每一项。 忽略括号：多项式相减时未给减数加括号。 运算技巧 整体代入：若已知 。 符号优先：先处理符号，再合并同类项，减少错误。 五、实际应用 几何问题 例：大长方形长 、宽 2b，小长方形长 a、宽 b，求大长方形比小长方形的周长多多少。 解：大周长。 费用计算 例：甲店买球拍送球，乙店全九折。若买 5 副球拍和 x 盒球（每副球拍 30 元，每盒球 5 元），哪家更划算？ 解：甲店费用 。当  时乙店更优，反之甲店更优。 专项练习 一、选择题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组中两项属于同类项的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．将代数式去括号后，得到的正确结果是（　　） A． B． C． D． 4．若与的和是单项式，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 5．已知A=3mx-7x+1，B=2mx+3，其中m为常数，若A+2B的值与x的取值无关，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．1 D．7 6．有一道题是一个多项式减去，小强误当成加法计算，结果得到，正确的结果应该是（　　） A． B． C． D． 7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 8．如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列那个正方形的边长（　　） A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④ 二、填空题 9．计算：5a-3a=　 　． 10．如果和是同类项，那么a的值为　 　． 11．多项式x2﹣2kxy﹣5y2+ xy﹣6合并同类项后不含xy项，则k的值是　 　． 12．若单项式与的和仍为单项式，则这两个单项式的和为　 　． 13．某同学在做计算 时，误将 看成了 ，求得的结果是 已知 ，则 =　 　 三、解答题 14．化简： （1） （2） 15．已知：，且． （1）求A（用含a，b的式子表示）； （2）当，时，求A的值． 16．小红做一道数学题：“两个多项式A，试求A+B的值.”小红误将“A+B”看成“A-B”，结果答案为(计算过程正确).试求A+B的正确结果. 17．我国出租车收费标准因地而异。甲市：起步价 6 元，超过3 km后，每千米加1.5元；乙市：起步价10元，超过3 km后，每千米加1.2元。 （1）请问在甲、乙两市乘坐出租车s(3<s<15)千米的差价是多少元? （2）若某人在甲、乙两市乘坐出租车的路程均为10 km，则在哪个城市的收费高些? 高多少? 18．某文具商店有A水笔和B水笔共143支，A水笔每支6元，B水笔每支3.78元.学校购买了该商店的全部B水笔和部分A水笔，经核算后，发现应付款数与A水笔的总数无关. （1）购买的A水笔是该商店A水笔总数的百分之几? （2）应付款数是多少元? 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意； B、 和 不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、 ，故符合题意； D、 和 ，不是同类项，不能合并，故不符合题意； 故答案为：C． 【分析】合并同类项时，将系数相加减，字母及字母的指数不变，据此逐一判断即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵−x2y和xy2，相同字母的指数分别不相等，不是同类项，∴A不符合题意； B、∵x2y和x2z的字母不相同，不是同类项，∴B不符合题意； C、∵−m2n3和−3n3m2的字母相同，相同字母的指数也分别相等，是同类项，∴C符合题意； D、∵−ab和abc的字母不完全相同，不是同类项，∴D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）逐项分析判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解： ， 故答案为：C． 【分析】括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘，据此即可得出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解： 与的和是单项式，即 与都是同类项，所以2n-3=1，n=2；2m=8，m=4. 故答案为：C. 【分析】因为和是单项式，所以与是同类项，即字母相同，相同字母的指数相同。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵A=3mx-7x+1，B=2mx+3， ∴A+2B=3mx-7x+1+2（2mx+3）=（7m-7）x+7， ∵A+2B的值与x的取值无关， ∴7m-7=0， ∴m=1. 故答案为：C. 【分析】先计算出A+2B=（7m-7）x+7，再根据A+2B的值与x的取值无关，得出7m-7=0，即可得出m=1. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得： 原多项式为 ∴正确结果为： 故答案为：A 【分析】根据题意求出原多项式，再求出正确结果. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得：应缴水费为：元， 故答案为：D． 【分析】利用“总费用=没超过部分的费用+超过部分的费用”列出算式，再求解即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】如图，设正方形纸片①②③④的边长分别为， 左上角阴影的周长为， 右下角阴影的周长为 图中两块阴影部分的周长之差为， 故只需知道正方形纸片①得边长即可． 故答案为：A. 【分析】设纸片①②③④的边长分别为，然后求出两个阴影部分的周长之差，合并解题即可． 9．【答案】2a 【解析】【解答】解：∵原式=2a. 故答案为：2a. 【分析】根据合并同类项法则计算即可得出答案. 10．【答案】2 【解析】【解答】解： ∵3x3ya和－x3y2是同类项， ∴a=2 故答案为：2. 【分析】根据同类 项所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可解决. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵多项式x2﹣2kxy﹣5y2+ xy﹣6合并同类项后不含xy项， ∴﹣2k+ ＝0， 解得：k＝ ． 故答案为： ． 【分析】先将k当作常数，利用合并同类项的方法化简，再将含xy项的系数令为0，得到﹣2k+ ＝0，求出k的值即可。 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴和是同类项， ∴，， 则单项式与为和， ∴， 故答案为：. 【分析】根据同类项的定义可得a，b的值，然后合并同类项解题． 13．【答案】 【解析】【解答】解： ， ， ， 即 ， ， 故答案为： ． 【分析】先利用加上B求出A，再求A+B，利用整式的加减计算即可。 14．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式． 【解析】【分析】（1）根据多项式的运算法则，先去括号，再合并同类项，进行化简运算，即可求解； （2）根据多项式的运算法则，先去括号，再合并同类项，进行化简运算，即可求解. （1）解：原式； （2）解：原式． 15．【答案】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当，时， ． 【解析】【分析】（1）先根据题意求出，再利用合并同类项的计算方法及步骤（①有括号先去括号，②再找出所有同类项，③最后将同类项的系数相加减）分析求解即可； （2）将， 代入计算即可. （1）由题意得： ； （2）当，时， ． 16．【答案】解：， ∴ 【解析】【分析】先根据题意结合整式的加减运算将与相加得到A，进而即可求解。 17．【答案】（1）甲市出租车的费用为6+1.5(s-3)=(1.5s+1.5)元，乙市出租车的费用为10+1.2(s-3)=(1.2s+6.4)元，∴甲、乙两市乘坐出租车的差价为(1.2s+6.4)-(1.5s+1.5)=1.2s+6.4-1.5s-1.5=(4.9-0.3s)(元)。 答：在甲、乙两市乘出租车s(3<s<15)千米的差价是(4.9-0.3s)元。 （2）当s=10时，甲市收费为1.5×10+1.5=16.5(元)，乙市收费为1.2×10+6.4=18.4(元)，18.4>16.5，相差费用为 18.4-16.5=1.9(元)。 答：乙市的收费高些，高1.9元。 【解析】【分析】（1）根据甲、乙两市的收费标准列出乘坐出租车s（3<s<15）千米时的费用表达式，再通过作差得出差价表达式； （2）将s=10分别代入甲、乙两市的费用表达式，算出具体费用，然后比较大小并得出差价. 18．【答案】（1）解：设商店有A水笔x支，则买B水笔(143-x)支，购买的A水笔支数占商店A水笔支数的m， 由题意得学校付款数=3.78×(143-x)+6mx， 化简得学校付款数=143×3.78+(6m-3.78)x ∵应付款数与A水笔的总数无关 ∴6m-3.78=0，m=63%. （2）解：应付款数=143×3.78=540.54(元). 【解析】【分析】（1）设商店有A水笔x支，则买B水笔(143-x)支，购买的A水笔支数占商店A水笔支数的m，进而得到学校付款数=3.78×(143-x)+6mx，根据整式的混合运算结合题意化简即可得到学校付款数=143×3.78+(6m-3.78)x，再结合题意即可求出m； （2）根据（1）中的代数式结合题意即可求解 学科网（北京）股份有限公司 $$