6.2 直线、射线、线段 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

6.2 直线、射线、线段 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 知识点 1 线段、射线和直线 【举例讲解】 1.观察图1﹣3﹣2中的图形，你有什么想法吗? 这些都与我们的生活有关.第一幅图是由多支铅笔组成的，每支铅笔都有两端.第二幅图是由竹竿组成的，在生活中竹竿也有上下两端.第三幅图是人行横道，每一条白线的长度都是有限的，且都有两端.像这样的图形，它们的长度都能测量，并且都有两端，我们称这样的图形为线段. 2.大家都看过舞台上闪烁的灯光，看起来是线段吗? 这个灯光是从一点发出，向外无限延伸的，只有一个端点；而前面学习的线段有两个端点，所以这个灯光可以看成是线段向一个方向无限延长得到的图形. 笔直的铁轨，拉直的电线，这些线看起是线段吗? 笔直的铁轨给人的感觉是无限长，拉直的电线也是无限长，可以看成是线段向两个方向无限延长得到的图形. 将线段向一个方向无限延长和向两个方向无限延长得到两个新图形，这样的图形分别称为射线和直线. 【归纳总结】 知识归纳 (1) 线段的概念没有规定具体含义，即它没有严格的定义.绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看作线段. 线段的表示：线段可用表示它端点的两个大写字母来表示，与字母的排序无关.如图1-3-3(1)可表示为“线段AB”或“线段BA”；线段也可用一个小写字母来表示，如图1-3-3(2)中的“线段a”，不过此时要在图中标出这个小写字母a. (2)射线是建立在线段上的一个基本概念，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线. 射线可用它的端点及射线上的另一点来表示，与字母的排序有关(表示端点的字母必须写在另一个字母前).如图1 -3-4中的射线可表示为“射线OA”；端点相同的射线未必就是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线.两条射线为同一条射线时必须同时满足两个条件：①端点相同；②延伸方向相同. (3)直线是建立在线段这个基本概念上的又一个基本概念.将线段向两个方向无限延伸就形成了直线. 直线上任取两点，用表示这两点的大写字母即可表示这条直线，与字母的排序无关.如图1-3-5所示，可表示为“直线AB”或“直线BA”；直线也可用一个小写字母来表示，如“直线l”，不过此时要在图中标出这个小写字母l. 说明：线段有两个特性：①线段是直的；②线段有两个端点.换句话说，线段有头有尾，它的“头”和“尾”就是两个端点；③从画线部分可看出，直线没有端点.也就是说，直线也是一条“直的线”；直线无头无尾. 方法归纳 无论是表示线段、射线，还是直线，都要在字母前面注明几何名称“线段”、“射线”或“直线”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母地位平等，可交换位置；而表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把表示端点的字母写在前面. 知识点2 点与直线 【举例讲解】 1.观察图1-3-7，你能确定麻雀与电线之间的几种位置关系吗? 这个问题可以把麻雀看成点，电线看成直线，有一只麻雀落在电线上，另外两只麻雀不在电线上，所以可以这样说，点与直线有两种位置关系：点在直线上，点在直线外. 2.小明每天负责班级自行车摆放，总是摆放不整齐，爸爸告诉他，你先把两头的自行车对齐，画一条参考线，然后依次摆放中间的自行车.小明第二天试了试，果然摆放得整整齐齐.老师表扬了小明.你知道是什么原因吗? 我们知道，过一点作直线可以作出无数条，过两点作直线只能作出一条，不会作出第二条.小明将两端固定就是确定了两个点，过这两个点的直线只有一条，所以小明所摆放的自行车在一条直线上，这样就能整齐. 【归纳总结】 知识归纳 (1)点和直线的位置关系 一个点 P与一条直线l的位置关系有两种： ①如图1-3-8(a)所示，点P在直线l上，或者说直线l经过点P； ②如图1-3-8(b)所示，点P在直线l外，或者说直线l不经过点 P. (2)直线的确定 ①经过一点能作无数条直线；②直线的基本性质：经过两点能且只能作一条直线，也就是说两点确定一条直线.直线的性质包含两层含义：a.存在性，过两点一定有一条直线；b.唯一性，经过这两点的直线是唯一的，不会有两条、三条或更多条. 方法归纳 ①点在直线的上部或下部都称为点在直线外；②经过一点画直线有无数条，经过两点画直线有且只有一条. 拓展点：经过点画直线 ①经过三点作直线，如果三点在同一条直线上，只能作出一条；如果三点不在同一条直线上，可以作出三条直线.②经过四点作直线，如果四点在一条直线上，只能作一条直线；如果三点在同一条直线，第四个点在直线外，这样可以作四条直线；如果四点均不在同一条直线上，这样可以作六条直线.③经过五点、六点画直线的条数依此类推即可. 专项练习 一、选择题 1．下列说法错误的是（　　） A．射线和射线是同一条射线 B．和是同一个角 C．直线和直线是同一条直线 D．线段和射线都是直线的一部分 2．如图，CB=4cm，DB=7cm，点D为AC的中点，则AB的长为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 3．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝16cm，则线段CD＝（　　）cm． A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知线段，延长线段到，使，延长线段到，使，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知四条线段 ， ， ， 中的一条与挡板另一侧的线段 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　） A． B． C． D． 6．如图，线段 AB 表示一条对折的绳子，现从 P 点将绳子剪断.剪断后的各段绳子中最长的一段为 30cm.若 AP= BP，则原来绳长为（　　）cm. A．55cm B．75cm C．55 或 75cm D．50 或 75cm 7．如图所示，某同学的家在处，他想尽快赶到附近处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 8．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知点C是线段 AB的中点，点D分线段 A8 的长度为5：3。已知 CD=7 厘米，则AD的长为　 　厘米。 10．如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连结其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是　 　. 11．将长度分别为12、8的两条线段一端重合放置在同一条直线上，此时这两条线段中点之间的距离为　 　． 12．复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有　 　种不同的票价，应发行　 　种不同的车票． 13．已知线段的长为12，M为线段的中点，若C点将线段分成，则线段的长为　 　． 14．如图所示，在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，那么线段的长是 　 　． 15．如图，在直线l上按指定方向依次取点A，B，C，D，且使AB： 若AB的中点M与CD的中点N 的距离为15cm，则AB的长是　 　. 16．如图，C是线段AB 上的一点，D是线段BC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 23，线段AC 的长度与线段 BC 的长度都是正整数，则线段 AC 的长为　 　· 三、解答题 17．如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 18．如图，点C、D、E在线段AB上，且满足AC=CD=DB，点E是线段DB的中点，若线段CE=6cm，求线段AB的长． 19．已知点 A，B，C，D（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹。 （1）画线段 BD，射线 BC； （2）在射线BC上找一点E（不与B重合），使得CE=CB； （3）在线段 BD上找到一点F，使点F到A、C两点距离之和最小，请在图中标出点 F。 20．如图，线段，a 为最小的正整数，点C 为线段上一点，将线段沿点C 对折后， 点A 的对应点为线段上的点D，． （1）求线段的长，并说明的理由； （2）动点M 从A点出发沿线段以每秒1个单位的速度向点B 运动，同时动点N 从B 点 出发沿线段以每秒2个单位的速度向点A运动．设运动的时间为t 秒，当点M，N在点H 处相遇时，求此时线段的长 ． 21．如图，线段，，点M是的中点． （1）求线段的长度； （2）在上取一点N，使得．求的长． 22．如图，已知线段AB=18，C为线段AB 上一动点，点D 在线段CB 上且满足CD：DB=1：2。 （1）当C为AB 的中点时，求CD的长。 （2）若E为BD 的三等分点，且DE=3，求AC的长。 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A. 射线和射线是同一条射线，该说法错误，A符合题意； B. 和是同一个角，该说法正确，B不符合题意； C. 直线和直线是同一条直线，该说法正确，C不符合题意； D. 线段和射线都是直线的一部分，该说法正确，D不符合题意． 故答案为：A 【分析】根据直线、线段、射线的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意知，CB=4cm，DB=7cm，所以DC=3cm，又点D为AC的中点，所以AD=DC=3cm，故AB=AD+DB=10cm． 故答案为：D． 【分析】利用线段的中点及线段的和差计算即可。 3．【答案】B 【解析】【解答】由点D是线段AB的中点，得 AD＝ AB＝ ×16＝8cm 由C是线段AD的中点，得 CD＝ AD＝ ×8＝4cm 故答案为：B 【分析】根据线段中点的性质，可得答案 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， ∵AC=AB+BC， ∴AC=3+4=7， ∴AD=AC=7， ∵CD=AD+AC， ∴CD=7+7=14. 故答案为：A 【分析】根据题意画出图形，利用AC=AB+BC，代入计算求出AC的长，再根据CD=AD+AC，代入计算求出CD的长. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E， 连结AB、AC、AD、AE， 根据直线的特征经过两点有且只有一条直线， 利用直尺可确定线段a与m在同一直线上， 故答案为：A． 【分析】根据两点确定一条直线可求解。 6．【答案】D 【解析】【解答】设AP=2xcm，则BP=3xcm，∴AB=5x，∴原绳长为10xcm， ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm， ∴2AP=30或2BP=30， 即4x=30或6x=30， ∴x=7.5或x=5， ∴10x=75或10x=50， 即原绳长为50cm或75cm. 故答案为：D 【分析】设AP=2xcm，则BP=3xcm，则由2AP=30或2BP=30，得4x=30或6x=30. 7．【答案】B 【解析】【解答】该同学想从P点尽快到C点，根据两点之间，线段最短，所以可选择第②条路线； 故答案为：B。 【分析】根据线段的性质（两点之间，线段最短）进行分析。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图知：AC=CD=a， ， ， ， ， ， 故选：D． 【分析】根据线段的和差计算即可求解． 9．【答案】35 【解析】【解答】解：如图所示， 设AB的长为x厘米， ∵点C是线段AB的中点， (厘米)。 ∵点D分线段AB为5：3， 厘米， (厘米) ， 厘米， (厘米)。 故答案为：35. 【分析】设AB的长为x厘米， 根据线段中点定义可得出： (厘米)。然后利用点D分线段AB为5：3， 可得出 厘米，再利用 求出x解题即可. 10．【答案】12 【解析】【解答】解： 假设AB. BC. CD. CF是相邻不等距的线段， 由题知最大距离是19， 所以相邻线段最大距离为8最小为2. 又因为 可以推算出距离分别是2，5，8，4， 所以得出 . 故答案为：12. 【分析】根据线段的和差可以得到距离分别是2，5，8，4，然后解题即可. 11．【答案】或 【解析】【解答】解：记长度为12、8的两条线段分别为，， ，分别为线段，的中点， 所以，， ①当，不重合时， 此时这两条线段中点之间的距离为， ②当，重合时， 此时这两条线段中点之间的距离为， 故答案为：或． 【分析】分情况①当，不重合时，②当，重合时，画图结合线段的中点定义，线段的和差解题． 12．【答案】10；20 【解析】【解答】解： 共有票价（种）， 因此应该发行20种不同的车票． 故答案为：10；20． 【分析】根据从哈尔滨开北京的复兴号途中要停靠于3个站点，得到在哈尔滨车票的票价有4种．依此类推，在第一个站点的票价有3种．在第二个站点的票价有2种，在第三个站点的票价有1种，结合有理数的加法求和，即可得到答案. 13．【答案】8 【解析】【解答】解：∵长度为12的线段的中点为M， ∴， ∵C点将线段分成， ∴，， ∴． 故答案为：8． 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题意，得到，结合，得出，的长，再由，即可求解. 14．【答案】2 【解析】【解答】解：∵点A，B，C是直线l上顺次的三点，且， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【分析】先求出AC的长，然后利用线段中点的定义得到AO长，再根据解答即可 ． 15．【答案】5cm 【解析】【解答】解：设 则 ∵M是AB中点， N是CD中点， 解得 故答案为： 5cm. 【分析】根据线段的比例设未知数，再根据中点的性质得到MB和CN， 利用 的等量关系列方程，即可解决. 16．【答案】3 【解析】【解答】解：设AC=a，BC=2b（a，b均为正整数），则 图中所有线段的长度和为AC+CD+DB+AD+CB+AB =a+b+b+（a+b）+2b+（a+2b） =3a+7b=23， ∵a、b为正整数. ∴a=3，b=2， ∴AC=3. 故答案为：3 【分析】 设AC=a，BC=b（a，b都是正整数），将所有线段的长度和用a，b 表示出来，根据题意列方程，分析结果. 17．【答案】解：∵，， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴． 【解析】【分析】先根据题意求出的长，再根据线段的和差，求出的长，最后利用线段中点的性质，求出的长，再根据线段的和差，可得答案． 18．【答案】解：由点C、D、E在线段AB上，且满足AC=CD=DB，得AC=CD=DB=AB． 由点E是线段DB的中点，得DE=DB=AB． 由线段的和差，得CE=CD+DE=6， 即AB+AB=6， 解得：AB=12． 线段AB的长是12cm 【解析】【分析】根据线段中点的定义得到 DE=DB ，然后利用线段的和差得到关于AB的方程，解题即可． 19．【答案】（1）解：如图，线段BD、射线BC即为所求. （2）解：如图，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求. （3）解：如图， 连接AC交BD于点F，则点F即为所求. 【解析】【分析】(1)根据线段、射线的定义画图即可. (2)以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求. (3)结合线段的性质，连接AC交BD于点F，则点F即为所求. 20．【答案】（1）解：10，理由如下， ∵AB=10a，a为最小的正整数， ∴a=1， ∴AB=10 ， 根据折叠关系，可得AC=CD， 所以AD=AC+CD=2CD， ∵CD：DB=1：3， ∵DB=3CD， ∴3AD=2BD. （2）解：点M，N在点H 处相遇， 相遇时的时间为t秒 ， ∵，，∴， ∴， ∴， 由题意，得：， 当点M，N在点H 处相遇时，， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查线段的数量关系，一元一次方程的实际应用： （1）根据a为最小的正整数，得到a=1，进而求出AB的长，根据折叠，得到AC=CD，进而得到AD=2CD，根据CD：DB=1：3，得3AD=2BD，即可得证； （2）根据题意，列出方程，求出t的值，进而得到AH的长，用AD的长减去AH的长即可． （1）解：∵a 为最小的正整数， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， 当点M，N在点H 处相遇时，， ∴， ∴， ∴． 21．【答案】（1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）解：∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 【解析】【分析】（1）根据线段的中点以及和差关系，即可求出答案. （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求出答案. （1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 22．【答案】（1）解：∵C为AB的中点， ∴ ∵ ∴ （2）解：①当点E靠近点D时，如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②当点E靠近点B时，如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，AC的长为：或 【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义求出BC的长度，进而根据""即可求出CD的长度； （2）分两种情况讨论，①当点E靠近点D时，②当点E靠近点B时，分别根据线段间的数量关系及比例即可求解 学科网（北京）股份有限公司 $$