专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（    ）．    A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】连接，，，如图，    根据题意有：，，∵、是圆O的切线，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴量角器的直径是，故选：D． 例2（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】（1）证明：连接，，，，是的切线，， 在与中，，， ，，是半径，是的切线； （2）解：，，在中，， 、为的切线，， 在中，，即， 解得，． 例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    【答案】（1）见解析；（2）9 【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，    ∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线； （2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4， ∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4， ∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9． 模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接，∴，∴， ∵过圆心O的直线，∴，即是的中垂线，∴， ∴．即：是等边三角形，∴， 在中，有，∴，∴点E为的中点； （2）解：∵，∴， 又∵，∴，∴，，∴． 例2（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径， ，为等腰三角形，； （2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径， ，，，即， 在与中，，， ，，即， 在与中，，，， 在与中，，，， 又为等腰三角形，． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 【答案】，是小圆O的切线，证明见解析 【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中,∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意可得：，， 由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，， ，即，，． 在与中，，． （2）解：当为直径时，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为直径，∴，即， ∴，∴优弧的长度为． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接，∵，∴， ∴，即，∴，∴， 又∵，∴．    例2（24-25·河南·一模）概念引入在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 【答案】(1)3；(2)证明见解析； 【详解】（1）解：连接，，，， ，，，，故答案为：3； （2）证明：连接、，，，， ，，，，，， ，； 概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接， ，，，，四边形是正方形，， ，，的直径为20，，，，. 例3（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)结论仍然成立，证明见解析 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分，∴，∴；    （2）解：结论仍然成立．理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知．∴， 如图④，当点在内时，由（1）知．∴． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图，延长到E，使，连接， 四边形是圆内接四边形，， 在和中，，， ， 即，，故选：B． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD 【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”； ②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB ∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD （2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE ∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°， ∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3) 【详解】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）过点作于点，在中， ∴，，∴，， 在中，，， ，．， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于，， 是等腰直角三角形∴， 即 ． 例4（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴，∴，解得，故答案为：60． ②作圆的直径，连接，则 ∵圆的半径为5，∴，∵，∴.∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角，∴， ∴，解得，∴， ∵平分，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值，即的最大值是． 模型5.对角互补模型 例1（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵为的切线，． ∵D为的中点，．，．，． ，；如图，过点D作于点F， ，．， ，．∵D为的中点，，． ∵在和中，，，． ，，， ∴的半径为，故选：B． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 1．（24-25·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：连接， 在和，PA，PB，分别切⊙O于点A，B，，， ，， ，是等边三角形， ，， 又，， ，，过点作，如下图 根据等腰三角形的性质，点为的中点，， 在中，设，则，， ，解得：，，，故选：A． 2．（24-25·山东九年级期中）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G， 由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB， 又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确． 无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D． 3．（24-25·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， 在和中，，，，故选：B． 4．（2025·山东德州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作圆，交斜边于点，为上一动点．连接，．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．当时，则 B．时，则四边形为正方形 C．当平分时，则 D．当为中点时，是等腰三角形 【答案】B 【详解】解：为圆心角，为同弧所对的圆周角，，A的结论正确； ，，只有当时，四边形为正方形， B的结论不一定成立；过点作，垂足为，如图， 平分，，，． ，，即点与点重合，， 在和中，，，．C选项的结论正确； 为圆的直径，，，为中点，为斜边上的中线， ，是等腰三角形，选项的结论正确．故选：B． 5．（24-25·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 【答案】3 【详解】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF， ∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC， 在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4， ∵OC＝5，∴OD＝＝＝3． 6．（23-24·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，． ①写出y与x的关系式；②若，求阴影部分的面积．      【答案】(1)见解析(2)①；②． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵射线是半圆O的切线，E点在半圆O上，∴，， ∵，，∴．∴，∴是半圆O的切线； （2）解：①过点D作于点F，如图，∵、是半圆O的两条切线，∴，       ∵，∴四边形为矩形， ∴．∴，． 在中，∵，∴， ∴．∴y与x之间的函数关系式为； ②当时，∵，∴与重合，此时四边形为矩形， 连接，则四边形为正方形，如图，∴， ∴． 7．（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析   （2）3． 【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示： ∵∴∠AOE=∠BOD∵OA=OB∴∠OAE=∠OBF ∴∴ （2）∵∴AM=BM=4设OM=x，则OA=ON=x+2 在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3∴OM=3． 8．（24-25·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2) 【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示： 以上即为所求作的图形；理由如下：∵是小圆的切线，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，又为半径，∴是小圆的切线； （2）解：连接，如图所示： 在中，，，∴， ∵，为圆的半径，， ，∴，∵为大圆的直径，∴， 在中，． 9．（24-25·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径． (2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图，设、交于点G，连接并延长，交圆于点F，线段即为所求； 证明：如图，、交于点Q，、交于点P，连接，交于点H， ∵，，∴，， ∴，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵， ∴，∵，，∴， ∴，，∴垂直平分弦，∴是圆的直径； （2）如图，连接、，交于点F，延长、，两线交于点E，作直线，交圆于点M、N， 线段即为所求． 证明方法同（1）． 10．（24-25·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线： （1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点； （2）如图2，的两边与一圆交于，且． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用点、是优弧的三等分点，连接，，其交点为，即可得出答案； （2）利用，连接，，其交点为，即可得出答案． 【详解】解：（1）射线即为所求，如图： 证明：连接、，如图：∵的两边与一圆切于点，∴ ∵点，是优弧的三等分点∴ ∴在和中∴ ∴∴射线为的平分线； （2）射线即为所求，如图：证明：∵，， ∴∴，∴即 ∵，∴∴ ∴即 ∵∴∴射线为的平分线． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）已知：，于点，于点．求证：． 证明：∵，∴．∵，，∴，，∴． 在和中，，∴（HL），∴． （2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接． 由（1）可知，当时，．在和中，， ∵∴（HL），∴，即平分． 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接．(1)求证：；(2)如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】（1）证明：作，，垂足分别为． ∵，，，∴，∴， 又∵，，∴， ∴∴， ∵，，∴，，∴； （2）∵，，∴，即：， ∵，平分，∴．又∵为中点，∴． ∴∴为中点．∴， ∴，∴四边形为菱形． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．(1)求的大小；(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长． 【答案】(1)；(2)圆的直径长是4． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，   ∴，∵     ， ∴    ， ∴，，∵四边形是圆内接四边形． ∴．∴； （2）∵，  ∴是圆的直径，∵，   ∴  ， ∴是等边三角形，∴，∴   ，   ∴ ， ∵，    ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴   ∴圆的直径长是4． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．    (1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ． 【答案】(1)①见解析，②见解析(2) 【详解】（1）①证明：∵，， ，平分圆周角，∴圆中存在“爪形D”． ②如图所示，延长至点E，使得，连接，    ，，， 在和中，，，，， ，，，为等腰直角三角形， 由勾股定理得：，即，，． （2）解：延长至点E，使得，连接， ，，， 在和中，，，，， ，，，是等边三角形， ，．故答案为：． 15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点； (1)如图1，若、直接写出与的数量关系； (2)如图2、若、平分，，求的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图：绕B逆时针旋转交于E，即， ∵，∴，∴是等边三角形，∴  , ∵点D为的中点∴，∵，∴是等边三角形， ∴ ，∴,即, ∴，∴,∴,即．    （2）解：如图：连接，交于E， ∵，∴为直径,即 ∵点D为的中点，∴，  ∴,即,解得：, ∵平分，∴,又∵,∴垂直平分,即，∴, ∵．∴是的中位线，∴，∴， ∴．    16．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【答案】（1）（2）16（3） 【详解】解：（1）由旋转得，，，是等边三角形， ，，；故答案为：； （2）∵是的弦，且的半径为8， ∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ，∴的最大值是16； （3）∵，， ∴是的直径，且圆心在上，∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ，，，∵，∴， ∴、、三点在同一条直线上，∵， ∴， ∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ∴的最大值为，∴的最大值为， ∴周长的最大值是． 17．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：作于M，交延长线于N，∴，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 18．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等 垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）证明：根据题意，得，，，∴四边形是矩形， ∵，根据垂径定理，得∴四边形是正方形． （2）证明：∵，，∴， ∴，∴，∴； 连接，设，交点为G，∴， ∴，∴， ∴．∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F，根据题意，得，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴四边形是正方形，∴． ∵，设，， ∵，∴，∴，连接， ∵的直径为10，∴，根据勾股定理，得，∴， 解得（舍去），∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G，根据题意，得，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴四边形是正方形，∴． ∵，设，， ∵，∴，∴，连接， ∵的直径为10，∴，根据勾股定理，得，∴， 解得（舍去），∴．综上所述，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（    ）．    A．3 B． C．6 D． 例2（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 例2（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    例2（24-25·河南·一模）概念引入在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 例3（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例4（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 模型5.对角互补模型 例1（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 1．（24-25·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 2．（24-25·山东九年级期中）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D． 3．（24-25·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东德州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作圆，交斜边于点，为上一动点．连接，．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．当时，则 B．时，则四边形为正方形 C．当平分时，则 D．当为中点时，是等腰三角形 5．（24-25·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 6．（23-24·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，． ①写出y与x的关系式；②若，求阴影部分的面积．      7．（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 8．（24-25·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 9．（24-25·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径． (2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径． 10．（24-25·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线： （1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点； （2）如图2，的两边与一圆交于，且． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接．(1)求证：；(2)如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．(1)求的大小；(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪． (1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ．    15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点； (1)如图1，若、直接写出与的数量关系； (2)如图2、若、平分，，求的长度． 16．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 17．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 18．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等 垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$