专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形，，， ，，，， 当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即， ，，．故答案为：． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解：（1）∵菱形，∴，， 又，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵，∴，∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故答案为：． 例3（24-25·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形， ∴，，∴，． ∵，∴，，∴， 当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值， ∵点E是的中点，∴，则， ∵，∴，∴，∴，解得：， 综上：的最小值为，故答案为：． 例4（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由折叠得，，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，． ，，. 是的垂直平分线，，； （2）解：如图1：过点作于点， ，，即．，． ∵四边形是菱形，，． ，， ，，过点A作于点， 在中，，∴ 根据勾股定理，得，； （3）解：如图：连接，， ，，当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为． 1．（2024·广东·校考一模）如图，中，，为边上的一动点，则的最小值等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AB∥CD∴∠EDP=∠DAB=60°，∴sin∠EDP=， ∴EP=PD，∴PB+PD=PB+PE ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵sin∠A=，∴BE=，故选C. 2．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 3．（2024·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 4.（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 5.（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解析：（1）四边形是菱形，，； （2）过点作于点，连接，，过点作于点，，， 的垂直平分线交于点，交于点，， ，的最小值为， ，，，的最小值为． 6．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 7．（2025·江苏·校考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ． 【答案】3 【详解】解：如图，过作交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小， ∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3． 8．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，过点作于，过点作于．    四边形是菱形，，∴，， ，，，， ，，， ，，， 的最小值为，故答案为：． 9.（2023·河北保定·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，故答案为：． （2）过点P作于点E，过点M作于点F，    在中，由（1）知：，∴，∴， 在矩形中，，∵，∴， 在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2． 9．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点M， 在菱形中，，，， ∴为等边三角形，，∵在中，， ，当、、三点共线时，取得最小值， ，，， 在中，，则的最小值为． 10．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作射线，使得，过点P作，垂足为点E，则， 在中，，，， 过点O作 ，垂足为点F，则， ，垂线段最短，， 的最小值为线段的长， 在矩形中，， ，， ，， ∵在中，，．解得：．故答案为： 11．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 12．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 13．（24-25·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 14．（2023·吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展] 【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． [问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长， ∵，∴．在中，． ∵，∴．即的最小值为；故答案为：； [问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴，∴， ∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，即的最小值等于． 15．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)不改变，见解析(3) 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6，∴，， ∴，是等边三角形，∴， ∵点E是边的中点，∴，， ∵，∴∴点F是边的中点， ∴，∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴； （3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵，∴在中， ∴  ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形，∴，∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形，∴，∴的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 例3（24-25·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 例4（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 1．（2024·广东·校考一模）如图，中，，为边上的一动点，则的最小值等于（    ） A． B．3 C． D． 2．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2024·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 4.（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 5.（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1） ；（2）的最小值为 ． 6．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 7．（2025·江苏·校考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ． 8．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    9.（2023·河北保定·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 9．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 10．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 11．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    12．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 13．（24-25·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 14．（2023·吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 15．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$