第二单元 分数混合运算（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册

第二单元 分数混合运算易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 2 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 7 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 16 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 19 模块一 易错知识点梳理 1．连续求一个数的几分之几是多少的分数乘法问题，解题的关键是明确每一步谁是单位“１”，谁是谁的几分之几。 2．在没有括号的分数乘除混合运算中，运算顺序是从左向右依次计算，不能任意改变运算顺序。 3．在分数加减混合运算中，加括号或去括号时要注意括号前面的符号，如果是加号，那么括号里面不变号；如果是减号，那么括号里面的加变减，减变加。 4．运用（a+b)×c=a×c+b×c进行简便计算时，括号中的每一个数都要与括号外的数相乘。 5．求比一个数量多（或少）几分之几的数是多少的问题，解题的关键是找准单位“1”。 6．如果题中单位“1”的量是所求问题，应该设单位“1”的量为未知数x。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 【典例1】计算 【错误答案】 【错解分析】虽结果正确，但步骤中未的计算顺序出现错误，同一级运算应遵循从左到右的顺序计算，如果需要用到运算律，需要在计算过程中标注出来。 【正确解答】 【易错专练1】计算。                              【答案】4； ；21 【分析】分数连乘运算，是同级运算，先约分再计算即可。据此解答。 【解答】 ＝ ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝21 【易错专练2】计算下面各题。                                                                      【答案】；10 ； 【分析】××，先约分，再进行计算； 15÷×，把除法换算成乘法，原式化为：15××，先约分，再进行计算； ×÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，先约分，再进行计算； ÷×，把除法换算成乘法，原式化为：××，先约分，再进行计算。 【解答】×× ＝ ＝ 15÷× ＝15×× ＝ ＝10 ×÷ ＝×× ＝ ＝ ÷× ＝×× ＝ ＝ 【易错专练3】计算题。 ××             ÷5÷             ÷× ××5             ×15÷           ÷÷× 【答案】；；； ；； 【分析】分数连乘的计算方法：先约分，再计算； 计算分数连除或乘除混合运算，先把其中的除法转化为乘法，再按照分数连乘的方法计算。 【解答】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【易错专练4】计算下面各题。 ×14×             45×× ××              ×× 【答案】；20 ； 【分析】计算分数连乘，可以在计算过程中分别把分数的分子和分母进行约分，再计算出结果。 【解答】×14× ＝     ＝         45×× ＝ ＝20 ××   ＝   ＝           ×× ＝ ＝ 【易错专练5】计算下面各题。                                  【答案】15；；4 【分析】×42×，先约分，再按照从左到右的顺序进行计算； 15÷×，把除法换算成乘法，约分，再进行计算； ×33÷，先把除法换算成乘法，约分，再进行计算。 【解答】×42× ＝ ＝15 15÷× ＝15×× ＝ ＝ ×33÷ ＝×33× ＝ ＝4 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 【典例2】计算 【错误解答】 【错因分析】错误得先算加法后算乘法，未遵循“先乘除后加减”得运算顺序。 【正确解答】 【易错专练1】列计算下面各题，怎样简便就怎样算。             【答案】13； 【分析】（1）先把乘法转化成乘法，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算。 （2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法。 【解答】（1） （2） 【易错专练2】下面的各题，能简算的要简算。                                                   【答案】14；19 1； 【分析】除以一个数等于乘它的倒数，将除法转化为乘法，即，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，分别计算出×32、×32、×32，再进行加减运算； 观察式子发现，前后两项都有，可根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将式子转化为，再进行计算； 先去小括号，根据去括号法则：括号前是减号，去掉括号后，括号内的加号变减号，得到，然后连同数字前面的符号一起交换数字位置，调整运算顺序为，按顺序计算中括号里面的，最后算括号外的乘法； 先分别计算出两个小括号里面的，即1－和＋，再将两个结果相乘。 【解答】 ＝ ＝×32＋×32－×32 ＝12＋8－6 ＝20－6 ＝14 ＝ ＝ ＝×10 ＝19 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5× ＝ ＝1 ＝×（＋） ＝× ＝ 【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                                            【答案】；29； 19； 【分析】式子符合乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c形式，提取，先算凑整，再相乘； 除以等于乘28，利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，分别让和乘28，再相加，简化计算； 依据减法性质a－b－c＝a－（b＋c），与分母相同，相加和为1，先凑整相加，再用20减它们的和； 除法变乘法（除以7等于乘），式子变为，符合乘法分配律，提取，先算凑整，再相乘。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                          【答案】；； ；；4 【分析】（1）先把除法转化成乘法，然后根据乘法交换律a×b＝b×a把变成进行简算； （2）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算括号外面的加法； （3）先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的乘法； （4）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算； （5）先把56拆成55＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算； （6）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法。 【解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                【答案】；；168 7；28； 【分析】×7×，根据乘法结合律即可简便计算。 ×－×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（－），再进行计算。 28÷（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的除法。 24×（＋－），根据乘法分配律，原式化为：24×＋24×－24×，再进行计算。 ÷＋×65，把除法换算成乘法，原式化为：×35＋×65，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（35＋65），再进行计算。 ÷[（－0.75）÷]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法，据此解答。 【解答】×7× ＝×（7×） ＝×3 ＝ ×－× ＝×（－） ＝× ＝ 28÷（－） ＝28÷（－） ＝28÷ ＝28×6 ＝168 24×（＋－） ＝24×＋24×－24× ＝6＋4－3 ＝10－3 ＝7 ÷＋×65 ＝×35＋×65 ＝×（35＋65） ＝×100 ＝28 ÷[（－0.75）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[÷] ＝÷[×] ＝÷ ＝×5 ＝ 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 【典例3】小明有千克糖，吃了，还剩多少千克？ 【错误解答】−=（千克）答：还剩千克。 【错因分析】错误地将“吃了”理解为吃了千克，未理解分数表示的是占比关系。 【正确解答】×（1−）=×=（千克）答：还剩千克。 【易错专练1】一段公路施工，第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，这时还剩120米未施工，则需要施工的这段公路有多长？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，这段公路的长度看作单位“1”；第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，也就是完成的，即；再用1分别减去第一天与第二天占的分率，求出还剩120米占的分率，再用120米除以所对应的分率即可。 【解答】 （米） 答：需要施工的这段公路长200米。 【易错专练2】某工程队要修一段铁路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下440米没有修，第一天比第二天少修了多少米？ 【答案】40米 【分析】将铁路全长看作单位“1”，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下全长的，还剩下的长度÷对应分率＝铁路全长，铁路全长×第一天和第二天对应分率的差＝第一天比第二天少修的长度，据此列式解答。 【解答】 （米） 答：第一天比第二天少修了40米。 【易错专练3】某水果店购进一批水果共240千克，第一天卖了，第二天卖了余下的，这家水果店还剩下多少千克水果？ 【答案】84千克 【分析】把水果的总质量看作单位“1”，第一天之后还剩下，把余下的水果质量看作单位“1”，用乘法求出第二天卖出的水果质量，再用总质量减去第一天、第二天卖的水果质量即可。 【解答】 （千克） （千克） 240－120－36＝84（千克） 答：这家水果店还剩下84千克水果。 【易错专练4】妈妈买来一瓶蜂蜜，玲玲第一天用去，第二天用去50克，还剩一半。这瓶蜂蜜原来有多少克？ 【答案】500克 【分析】把这瓶蜂蜜原来的总重量看作单位“1”，两天后还剩一半，即还剩总量的，那么用去总量的（1－），第一天用去，则第二天用去总量的（1－－），已知第二天用去50克，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用50除以（1－－）即可求出这瓶蜂蜜原来有多少克。 【解答】50÷（1－－） ＝50÷（1－－） ＝50÷ ＝50×10 ＝500（克） 答：这瓶蜂蜜原来有500克。 【易错专练5】某库房里有一批检测试剂，第一天用了总瓶数的，第二天比第一天少用了60瓶，还剩这些检测试剂总瓶数的，这批检测试剂一共有多少瓶？ 【答案】800瓶 【分析】设这批检测试剂一共有x瓶，则第一天用了x瓶，第二天用了（x－60）瓶，还剩下x瓶。根据题意，总瓶数－第一天用的瓶数－第二天用的瓶数＝剩下的瓶数，据此列方程即可解答。 【解答】解：设这批检测试剂一共有x瓶。 x－x－（x－60）＝x x－x＋60＝x x＋60＝x x－x＝60 x－x＝60 x＝60 x＝60× x＝800 答：这批检测试剂一共有800瓶。 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 【典例4】例红星百货商场八月的营业额是500万元，比七月的营业额增加了。七月的营业额是多少万元? 【错误解答】（万元）答：七月的营业额是625万元。 【错解分析】错误解答错误的原因在于没有认真审题，盲目地看到增加就用加法，而忽略了题目中各种量之间的关系，对问题中的单位“1”没有分清楚。比七月的营业额增加了，是把七月的营业额看作单位“1”。求单位“1”的问题，如果用算术法，应用除法;如果用方程解，要找到等量关系“七月的营业额×(1+)=八月的营业额”。 【正确解答】解：设七月的营业额是x万元。 X=400 答：七月的营业额是400万元。 【易错专练1】修一条公路，第一天修了全长的，第二天比第一天多修600米，还剩1800米没有修。这条公路全长多少米？ 【答案】6000米 【分析】根据题意，设这条公路全长米，第一天修了全长的，则第一天修了米；第二天比第一天多修600米，则第二天修了（＋600）米； 根据“还剩1800米没有修”可得出等量关系：全长－第一天修的长度－第二天修的长度＝还剩的长度，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设这条公路全长米。 －－（＋600）＝1800 －－－600＝1800 －600＝1800 －600＋600＝1800＋600 ＝2400 ÷＝2400÷ ＝2400× ＝6000 答：这条公路全长6000米。 【易错专练2】新华书店运来一批童话故事书，售出后，还剩350本，这批童话故事书共有多少本？ 【答案】560本 【分析】将总本数看作单位“1”，售出后，还剩，还剩的本数÷对应分率＝总本数，据此列式解答。 【解答】 （本） 答：这批童话故事书共有560本。 【易错专练3】学校开展班级文化建设评比，淘气小组要为班级折一些千纸鹤来装饰教室。现在已经折了总数的，还剩90只就可以折完。你知道淘气小组一共要折多少只千纸鹤吗？ 【答案】120只 【分析】以千纸鹤总数为单位“1”，已经折了总数的，还剩下总数的（1－），对应数量是剩下90只，单位“1”未知，用剩下的只数÷（1－），即可求出千纸鹤总数。 【解答】90÷（1－） ＝90÷ ＝90× ＝120（只） 答：淘气小组一共要折120只千纸鹤。 【易错专练4】学校创客节活动中，五年级共上交了36件作品，五年级比六年级少交。六年级交了多少件作品？ 【答案】42件 【分析】根据题意，把六年级上交的作品数看作单位“1”，则六年级的作品数量的（1－）是五年级的作品数量，根据分数除法的意义解答即可。 【解答】36÷（1－） ＝36÷ ＝36× ＝42（件） 答：六年级交了42件作品。 【易错专练5】某电冰箱厂今年生产5400台冰箱，比去年多生产，去年生产了多少台冰箱？（列方程解决问题） 【答案】4500台 【分析】以去年生产的冰箱数量为单位“1”，则今年生产5400台冰箱是去年的（1＋），则去年的冰箱数量×（1＋）＝今年生产的冰箱数量，据此设去年生产了台冰箱，根据等量关系，列方程求解即可。 【解答】解：设去年生产了台冰箱。 （1＋）＝5400 ＝5400 ÷＝5400÷ ＝5400× ＝4500 答：去年生产了4500台冰箱。 【易错专练6】驼鹿是某岛上狼的重要食物来源，从1965年至1975年，驼鹿的数量增加了，达到1200只。1965年之前，驼鹿的数量是多少只？ 【答案】750只 【分析】由题意可知，把驼鹿1965年之前的数量看作单位“1”，根据已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，先用加计算数已知数对应的分率，再用除法计算求出单位“1”的具体量，即可得解。 【解答】 （只） 答：驼鹿的数量是750只。 【易错专练7】敦煌莫高窟是世界著名的石窟，其中的一个石窟宽30米，宽比高少，这个石窟的高是多少米？ 【答案】40米 【分析】将石窟的高看作单位“1”，宽是高的（1－），宽÷对应分率＝高，据此列式解答。 【解答】30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝40（米） 答：这个石窟的高是40米。 【易错专练8】据统计，2022年我国高铁的营业里程达到42000千米，比2021年增加了。2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了多少千米？ 【答案】2000千米 【分析】由题意可知，把2021年我国高铁的营业里程看作单位“1”，2021年的营业里程×（1＋）＝42000，据此先用除法求出2021年我国高铁的营业里程，再用减法求2022和2021年高铁的营业里程的差即可。 【解答】 （千米） 答：2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了2000千米。 【易错专练9】服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【答案】赔了；思考过程见详解 【分析】假设2件上衣的售价都是99元，则一件上衣赚了，相当于进价的（1＋）是99元，另一件上衣赔了，相当于进价的（1－）是99元，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此分别用除法求出2件上衣的进价，再和卖价比较即可解答。 【解答】假设2件上衣的售价都是99元。 99÷（1＋） ＝99÷ ＝99× ＝90（元） 99÷（1－） ＝99÷ ＝99× ＝110（元） 赚了：99－90＝9（元） 赔了：110－99＝11（元） 9＜11 答：赔了。 【易错专练10】共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 【答案】2200辆 【分析】把2023年投放共享单车的数量看作单位“1”，2024年投放共享单车的数量是2023年的（1＋），对应的是2024年投放共享单车8400辆，求单位“1”，用8400÷（1＋），求出2023年投放共享单车的数量；再把2024年投放共享单车的数量与2023年投放共享单车的数量相加，求出2024年和2023年一共投放共享单车的数量，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量看作单位“1”，据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量×，求出单车损坏数量；再把单车损坏数量看作单位“1”，加私锁、损毁二维码的数量占，用单车损坏数量×，求出加私锁、损毁二维码的数量，再用单车损坏数量－加私锁、损毁二维码的数量，即可解答。 【解答】8400÷（1＋） ＝8400÷ ＝8400× ＝7000（辆） （8400＋7000）× ＝15400× ＝3080（辆） 3080×＝880（辆） 3080－880＝2200（辆） 答：需要补充2200辆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 分数混合运算易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 2 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 4 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 6 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 7 模块一 易错知识点梳理 1．连续求一个数的几分之几是多少的分数乘法问题，解题的关键是明确每一步谁是单位“１”，谁是谁的几分之几。 2．在没有括号的分数乘除混合运算中，运算顺序是从左向右依次计算，不能任意改变运算顺序。 3．在分数加减混合运算中，加括号或去括号时要注意括号前面的符号，如果是加号，那么括号里面不变号；如果是减号，那么括号里面的加变减，减变加。 4．运用（a+b)×c=a×c+b×c进行简便计算时，括号中的每一个数都要与括号外的数相乘。 5．求比一个数量多（或少）几分之几的数是多少的问题，解题的关键是找准单位“1”。 6．如果题中单位“1”的量是所求问题，应该设单位“1”的量为未知数x。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 【典例1】计算 【错误答案】 【错解分析】虽结果正确，但步骤中未的计算顺序出现错误，同一级运算应遵循从左到右的顺序计算，如果需要用到运算律，需要在计算过程中标注出来。 【正确解答】 【易错专练1】计算。                              【易错专练2】计算下面各题。                                                                      【易错专练3】计算题。 ××             ÷5÷             ÷× ××5             ×15÷           ÷÷× 【易错专练4】计算下面各题。 ×14×             45×× ××              ×× 【易错专练5】计算下面各题。                                  易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 【典例2】计算 【错误解答】 【错因分析】错误得先算加法后算乘法，未遵循“先乘除后加减”得运算顺序。 【正确解答】 【易错专练1】列计算下面各题，怎样简便就怎样算。             【易错专练2】下面的各题，能简算的要简算。                                                   【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                                            【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                          【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 【典例3】小明有千克糖，吃了，还剩多少千克？ 【错误解答】−=（千克）答：还剩千克。 【错因分析】错误地将“吃了”理解为吃了千克，未理解分数表示的是占比关系。 【正确解答】×（1−）=×=（千克）答：还剩千克。 【易错专练1】一段公路施工，第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，这时还剩120米未施工，则需要施工的这段公路有多长？ 【易错专练2】某工程队要修一段铁路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下440米没有修，第一天比第二天少修了多少米？ 【易错专练3】某水果店购进一批水果共240千克，第一天卖了，第二天卖了余下的，这家水果店还剩下多少千克水果？ 【易错专练4】妈妈买来一瓶蜂蜜，玲玲第一天用去，第二天用去50克，还剩一半。这瓶蜂蜜原来有多少克？ 【易错专练5】某库房里有一批检测试剂，第一天用了总瓶数的，第二天比第一天少用了60瓶，还剩这些检测试剂总瓶数的，这批检测试剂一共有多少瓶？ 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 【典例4】例红星百货商场八月的营业额是500万元，比七月的营业额增加了。七月的营业额是多少万元? 【错误解答】（万元）答：七月的营业额是625万元。 【错解分析】错误解答错误的原因在于没有认真审题，盲目地看到增加就用加法，而忽略了题目中各种量之间的关系，对问题中的单位“1”没有分清楚。比七月的营业额增加了，是把七月的营业额看作单位“1”。求单位“1”的问题，如果用算术法，应用除法;如果用方程解，要找到等量关系“七月的营业额×(1+)=八月的营业额”。 【正确解答】解：设七月的营业额是x万元。 X=400 答：七月的营业额是400万元。 【易错专练1】修一条公路，第一天修了全长的，第二天比第一天多修600米，还剩1800米没有修。这条公路全长多少米？ 【易错专练2】新华书店运来一批童话故事书，售出后，还剩350本，这批童话故事书共有多少本？ 【易错专练3】学校开展班级文化建设评比，淘气小组要为班级折一些千纸鹤来装饰教室。现在已经折了总数的，还剩90只就可以折完。你知道淘气小组一共要折多少只千纸鹤吗？ 【易错专练4】学校创客节活动中，五年级共上交了36件作品，五年级比六年级少交。六年级交了多少件作品？ 【易错专练5】某电冰箱厂今年生产5400台冰箱，比去年多生产，去年生产了多少台冰箱？（列方程解决问题） 【易错专练6】驼鹿是某岛上狼的重要食物来源，从1965年至1975年，驼鹿的数量增加了，达到1200只。1965年之前，驼鹿的数量是多少只？ 【易错专练7】敦煌莫高窟是世界著名的石窟，其中的一个石窟宽30米，宽比高少，这个石窟的高是多少米？ 【易错专练8】据统计，2022年我国高铁的营业里程达到42000千米，比2021年增加了。2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了多少千米？ 【易错专练9】服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【易错专练10】共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$