专题02 空间位置关系、空间角、空间距离的向量求法8大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题02 空间位置关系、空间角、空间距离的向量求法8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面的向量表示 1 题型二、平行关系的向量证明 2 题型三、垂直关系的向量证明 6 题型四、线面角的向量求法 11 题型五、二面角的向量求法 17 题型六、点到直线距离的向量求法 20 题型七、点到平面、异面直线距离的向量求法 25 题型八、点的存在性问题 33 B综合攻坚·能力跃升 38 题型一、平面的向量表示 1．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 2．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 3．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 题型二、平行关系的向量证明 5．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 6．已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 【答案】平行 【详解】由题设，又直线在平面外， 所以直线与平面的位置关系为平行. 故答案为：平行 7．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 8．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 9．如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【答案】证明见解析 【详解】解法一： 以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得，， 因为，所以 即，即， 所以，所以， 又因为面的一个法向量为，所以，所以， 又因为面，所以面. 解法二： 取的中点，连接，因为为的中点， 所以，所以平面， 过作，交BC于， 以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为为中点，设， 则， 设点的坐标为. 因为，所以. 因为为的中点，故，又为的中点，故， 所以， 又平面的一个法向量为，故，所以， 又平面，所以平面. 题型三、垂直关系的向量证明 10．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 11．已知点，，，，过点P作平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是 . 【答案】 【详解】设，则， ， 因为平面OAB，平面OAB， 所以， 则，解得， 所以， 因为平面OAB，H为垂足， 所以四点共面， 则存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 13．（ 2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 题型四、线面角的向量求法 15．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 16．如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（    ）    A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 所以，． 设平面的法向量为，则得 取． 连接，,,由于,故，,易得平面的一个法向量为，所以．因为，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大．由图可知为钝角，所以随着的增大而增大． 故选：A    17．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为， 依题意得：，令，可取， 同理可得平面的一个法向量为． 故平面与平面夹角的余弦值为．    故答案为： 18．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．    【答案】/60o 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：    设，，则，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 又平面的一个法向量为， 所以，即， 当最小时，，， 所以，所以， 故答案为：． 19．（ 2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 20．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 题型五、二面角的向量求法 21．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 22．已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 23．已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 24．如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 题型六、点到直线距离的向量求法 25．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 26．在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 27．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 28．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 29．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 题型七、点到平面、异面直线距离的向量求法 30．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 31．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 故，取，则， 设直线l与平面所成角，则， 故答案为： 32．在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等， 不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、， 设点，其中、、，设平面的法向量为， ，，则， 取，可得， 因为点在平面内，且，则， 可得， 设直线与平面所成的角为，则， 且，所以，， 所以， . 故选：B. 33．如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面；    （2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：    因为由(1)知， 所以， 所以 设是平面的一个法向量， 则令，则， 所以， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 34．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）依题意可得为圆的一条直径，则． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 所以平面． （2）取线段的中点，连接，． 在中，，． 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． （3）过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直． 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，，则，，，，所以，． 设为平面的法向量， 所以令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 结合，解得，，所以． 题型八、点的存在性问题 35．（多选）如图，在正方体中，，E为棱的中点，F为棱（含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（   ） A．存在符合条件的点F，使得平面； B．不存在符合条件的点F，使得； C．异面直线与所成角的余弦值为； D．三棱锥的体积的取值范围是． 【答案】ABD 【详解】A：当与重合时，根据正方体的结构特征易知，即， 由面，面，则平面，对； B：以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则， 假设存在符合条件的点且满足，则，， 所以，不满足，对； C：由上，，可得，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为，错； D：，，， 由余弦定理，则， 所以的面积为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，， 所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积， 因此可得三棱锥的体积的取值范围是，对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D中三棱锥的体积的取值范围时，由于锥体的高不易获得，通过空间向量求得点到平面的距离，再结合点的坐标的取值范围即可得出结论. 36．如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 37．如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点与点重合 【详解】（1）取的中点，过作的平行线为轴，则轴两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的法向量为. 点到平面的距离为. （2）假设在线段上存在一点，使平面. 设，则， ，，. 平面，平面， ，， ，解得， 在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合. 38．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 39．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 1．（2025·吉林·三模）棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的外心，由外心的定义可知， 为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上． 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设球心，由，求出，从而求出， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 2．（2025·河南郑州·一模）如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，由底面为菱形，， 所以为等边三角形，故 取中点，连接， 因为是直四棱柱，所以平面， 又平面，所以 不妨设，所以，故， 由三线两两互相垂直，故以P为原点， 所在方向建立x，y，z轴，如下图所示： 则,， ， 由平面ABCD，所以平面ABCD可取， 设平面PMN的法向量为， 所以， 取，则，故 由MN与所成的角为，MN与平面ABCD所成的角为， 二面角的平面角为， 其中 所以， ， 所以， ， 因为在上递减，， 又， 所以 故选：C 3．（2025·山东临沂·三模）（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为棱上不同于的任一点，则（    ） A．面面 B．存在点，使得面 C．当点为棱中点时，顶点到面的距离为 D．当点与重合时，面截正方体所得截面的周长为 【答案】AD 【详解】对A，如图， 因为，分别为，的中点，所以， 又，所以，由正方体结构特征可知， 又，平面，所以平面， 又平面，所以面面，故A正确； 对B，如图，建立空间直角坐标系， 设，，则， 若存在点，使得面，则，解得，不合题意，故不存在点，使得面，故B错误； 对C，当点为棱中点时，, ，设平面的法向量， 则，令，则， 所以顶点到面的距离为，故C错误； 对D，点与重合时，面即为，延长，分别交于， 连接分别交于，连接，如图， 因为直线，所以平面，所以平面， 因为直线，直线，所以平面， 所以截面图形即为五边形，因为为中点，， 所以与全等，故， 所以为靠近的线段的三等分点，因为， 故P为靠近的线段三等分点，且，同理可得， 所以截面周长为，故D正确. 故选：AD 4．（2024·山东·二模）（多选）如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，所以， 对于A：由，故A错误； 对于B：由是平面的一个法向量， 则， 所以当时，，所以平面，故B正确； 对于C：由， 设平面的一个法向量为， 所以，令， 设点到平面的距离为，则， 所以， 所以， 因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对于D：设直线与所成角为， 由上当时， ， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 5．（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：因为点分别是底边的中点，所以，. 因为平面平面PAB，所以平面， 因为平面和平面的交线为，平面， 所以， 因为平面平面ABC， 所以平面. （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又. 所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以，又， 则， 由（1）可知，因为， 若，又，所以，所以 若，又，所以，所以 因为，设平面PBC的法向量为， 则，不妨取，解得， 设直线与平面所成角为， 当点的坐标为时，. 则；. 当点的坐标为时，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为或. 6．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 7．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 8．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取，得， 因为，所以，即，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间位置关系、空间角、空间距离的向量求法8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面的向量表示 1 题型二、平行关系的向量证明 2 题型三、垂直关系的向量证明 6 题型四、线面角的向量求法 11 题型五、二面角的向量求法 17 题型六、点到直线距离的向量求法 20 题型七、点到平面、异面直线距离的向量求法 25 题型八、点的存在性问题 33 B综合攻坚·能力跃升 38 题型一、平面的向量表示 1．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型二、平行关系的向量证明 5．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 6．已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 7．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 8．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 9．如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 题型三、垂直关系的向量证明 10．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 11．已知点，，，，过点P作平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是 . 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 13．（ 2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 题型四、线面角的向量求法 15．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 16．如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（    ）    A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 17．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 18．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．    19．（ 2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 20．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 题型五、二面角的向量求法 21．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 22．已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 23．已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 24．如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 题型六、点到直线距离的向量求法 25．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 26．在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 27．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 28．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 29．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 题型七、点到平面、异面直线距离的向量求法 30．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 31．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 32．在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 33．如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 34．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 题型八、点的存在性问题 35．（多选）如图，在正方体中，，E为棱的中点，F为棱（含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（   ） A．存在符合条件的点F，使得平面； B．不存在符合条件的点F，使得； C．异面直线与所成角的余弦值为； D．三棱锥的体积的取值范围是． 36．如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 37．如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 38．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 39．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．（2025·吉林·三模）棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·一模）如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（      ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·三模）（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为棱上不同于的任一点，则（    ） A．面面 B．存在点，使得面 C．当点为棱中点时，顶点到面的距离为 D．当点与重合时，面截正方体所得截面的周长为 4．（2024·山东·二模）（多选）如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 5．（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 7．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 8．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$