精品解析：湖南省长沙市长沙县2024—2025学年八年级下学期6月期末数学试题

湖南省长沙市长沙县2024—2025学年八年级 下学期6月期末数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. ×＝ B. ÷＝ C. -＝ D. ＋＝ 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. B. 3，4，6 C. D. 7，24，26 4. 如图，在中，连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 6. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（ ） A. 三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B. 三种物质中，物质的溶解度最小 C. 温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D. 温度为时，两种物质的溶解度相等 8. 某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 下列数学符号中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 10. 小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（ ） A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，则“钉尖不着地”的概率为0.7 C. 若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，若，则菱形的面积为___________． 13. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是___________． 14. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 15. 一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在7号板上的概率是________． 16. 阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l及其外一点A． 求作：l的平行线，使它经过点A． 小云的作法如下： ①在直线l上任取两点B，C； ②以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D； ③作直线． 直线即为所求． 老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； （2）在（1）所画图形中，连接，则___________度，线段___________单位长度． 18. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 19. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1、2、3的3个小球．这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率是___________； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点M的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点的纵坐标，求点在一次函数的图象上的概率． 22. 2025年，中国将隆重纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某校组织八年级共500名同学开展抗战胜利知识竞赛．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的竞赛成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生竞赛成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生竞赛成绩中的成绩如下：91，92，94，92，93． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a b 47.3 乙 90 87 c 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：___________分，___________分，___________分； （2）若规定竞赛成绩94分及其以上为“优秀”，请估计参加抗战胜利知识竞赛的500名学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人； （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生知识竞赛的整体成绩较好？请说明一条理由． 23. 如图，矩形中，点在上，连接、，将矩形沿直线翻折，点A恰好落在上的点处． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点． （1）求点的坐标，并求的面积； （2）若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值． 25. 凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． （1）在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） （2）如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． （3）如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市长沙县2024—2025学年八年级 下学期6月期末数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A不符合题意； B．，故选项B不符合题意； C．，是最简二次根式，故选项C符合题意； D．，故选项D不符合题意． 故选：C． 2. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. ×＝ B. ÷＝ C. -＝ D. ＋＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算进行计算即可求解． 【详解】A. ×＝，故该选项不正确，不符合题意； B. ÷＝，故该选项正确，符合题意； C. -，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ＋，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确的计算是解题的关键． 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A B. 3，4，6 C. D. 7，24，26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，二次根式的运算，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，选项错误； B、，不可以构成直角三角形，选项错误； C、，可以构成直角三角形，选项正确； D、，不可以构成直角三角形，选项错误； 故选：C． 4. 如图，在中，连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 6. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题意，作出图形，结合一次函数图象与性质即可得到答案，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，如图所示： ， 故选：A． 7. 在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（ ） A. 三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B. 三种物质中，物质的溶解度最小 C. 温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D. 温度为时，两种物质的溶解度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的运用，理解函数图象的特点是解题的关键． 根据函数图象的性质判定即可． 【详解】解：物质的溶解度随温度的增加而减小，故A选项错误，不符合题意； 三种物质中，当温度为时，物质的溶解度最大，故B选项错误，不符合题意； 温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是，故C选项错误，不符合题意； 温度为时，两种物质的溶解度相等，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 8. 某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，属于基础题型，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：这个班的全体同学的平均分． 故选：D． 9. 下列数学符号中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 10. 小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 061 0.61 下列说法正确的是（ ） A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，则“钉尖不着地”的概率为0.7 C. 若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为， A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，原说法不符合题意； B. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，不能说“钉尖不着地”的概率为0.7，原说法不符合题意； C. 若抛掷图钉100次，不一定有61次“钉尖不着地”，错误，原说法不符合题意； D. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，若，则菱形的面积为___________． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 【详解】解：在菱形中，， 则菱形的面积为， 故答案为：． 13. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是___________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性与系数的关系是解题关键．根据y随x的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：根据一次函数的性质，在一次函数中，y随x的增大而减小， 则， 解得， 所以在一次函数中，k的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 14. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：， 平均数是，这组数的个数为， 则该组数据的总和是：， 故答案为：． 15. 一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在7号板上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中7号板的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在7号板上的概率． 【详解】解：因为7号板的面积占了总面积的， 停在7号板上的概率． 故答案为． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 16. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l及其外一点A． 求作：l的平行线，使它经过点A． 小云的作法如下： ①在直线l上任取两点B，C； ②以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D； ③作直线． 直线即为所求． 老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题主要考查了复杂作图，正确把握平行四边形的性质与作法是解题关键．利用平行四边形的判定得出作出以A，B，C，D为顶点的平行四边形，进而得出答案即可． 【详解】解：以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D； ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； （2）在（1）所画图形中，连接，则___________度，线段___________单位长度． 【答案】（1）见解析 （2）45； 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）由旋转的性质，找到点，的位置，再连接可得； （2）由旋转的性质推出，可得，再由勾股定理求解； 【小问1详解】 作图如下： 【小问2详解】 如图2，连接， 由旋转的性质知，， ， 又， ． 18. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 【答案】（1）见解析 （2）y=3t （3）4320 【解析】 【分析】（1）根据表格描点、连线即可； （2）根据5min漏水量15mL可得解析式； （3）将t=24×60代入计算即可． 【小问1详解】 解：描点、连线如下： 【小问2详解】 滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t； 故答案为：y=3t； 【小问3详解】 一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL）， 故答案为：4320． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式． 19. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出，再证明，进而可得出答案． 【详解】证明：四边形为平行四边形． ， ， 又， ， ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式展开， 化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1、2、3的3个小球．这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率是___________； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点M的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点的纵坐标，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，一次函数的图象，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键； （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率； 【小问2详解】 列表如下：（列表法、树状图表示均可） 1 2 3 1 2 3 ，即， 经检验，在这6个点中，只有在上， 故点在一次函数的图象上的概率． 22. 2025年，中国将隆重纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某校组织八年级共500名同学开展抗战胜利知识竞赛．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的竞赛成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生竞赛成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生竞赛成绩中的成绩如下：91，92，94，92，93． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a b 47.3 乙 90 87 c 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：___________分，___________分，___________分； （2）若规定竞赛成绩94分及其以上为“优秀”，请估计参加抗战胜利知识竞赛的500名学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人； （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生知识竞赛的整体成绩较好？请说明一条理由． 【答案】（1）100、93、92 （2）200人 （3）甲班成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的概念，用样本估计总体，用平均数和方差做决策等，掌握众数和中位数的概念，用样本估计总体，用平均数和方差做决策是解题的关键． （1）根据众数和中位数的概念进行求解即可； （2）根据总人数乘以样本中的优秀率即可求得； （3）根据平均数和方差进行分析描述即可． 【小问1详解】 解：由题意得：甲班成绩的众数， 甲班成绩重新排列为：78，83，85，87，89，90，92，93，94，95，97，98，99，100，100，其中中位数为， 由题意得：乙班共15个数据，中位数为排序后第8个数据， 由频数分布表可知，分数低于90分的有人， 故第8个数据落在分数段， 该分数段的成绩由小到大排列为91，92，92，93，94． 第8个数据为该组第2个数，即92，乙班中位数为， 故答案为：100、93、92； 【小问2详解】 估计参加知识竞赛的500名学生中成绩为“优秀”的学生共有（人）； 【小问3详解】 甲班成绩较好，理由如下：因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可，答到关键词“甲班整体平均成绩大于乙班、甲班成绩稳定”即可）． 23. 如图，矩形中，点在上，连接、，将矩形沿直线翻折，点A恰好落在上的点处． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解边长，根据翻折前后边长不变，使用勾股定理可求解边长的长度是解决本题的关键． （1）由图形的翻折可得对应边长相等与对应角度相等，再根据角角边的证明方法即可证明与全等． （2）在直角使用勾股定理可求解边长的长度，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在直角中， ， ， 即， 解得， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点． （1）求点的坐标，并求的面积； （2）若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值． 【答案】（1）点的坐标为，的面积为2 （2）的值为或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象性质，一次函数图象交点问题，求平面直角坐标系中三角形的面积等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； （1）联立函数解析式求得点C的坐标为，再求的面积； （2）设点的横坐标为，根据的面积为的面积的2倍，解得，再分点为直线与直线的交点，直线与直线的交点进行求解． 【小问1详解】 解方程组，解得：， 点坐标为； 对于，当时，由得：， 点坐标为，， ； 【小问2详解】 对于，当时，， 点A坐标为． 对于，当时，， 点D坐标为． ， 由题知， 设点的横坐标为，则， 解得：． 当点为直线与直线的交点时， 将代入得：，则， 将代入得； 将代入得：，则， 将代入得； 当点为直线与直线的交点时， 将代入得：，则， 将代入得； 将代入得：，则， 将代入得； 综上，满足条件的的值为或或或． 25. 凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． （1）在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） （2）如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． （3）如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；①③④ （2）详见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合特殊的平行四边形的性质，进行判断即可； （2）根据三角形的中位线定理，结合正方形的判定方法，即可得证； （3）连接，由题意得：，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，再根据四边形为菱形时，四边形为“十字形”，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直， ∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； 【小问2详解】 证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”， ， ， ， 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形菱形， 又， 菱形FGMH是正方形； 【小问3详解】 解：如图2， 连接， 由题意得：，则， 中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”， ， ，即：当时，四边形为“十字形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$