精品解析：上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

同济大学第二附属中学2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科（试卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 2. 已知，，则_________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 3. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 4. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称.  因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称.  已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：.  故答案为：0.5. 5. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为_________． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数据的个数，根据百分位数的定义，可得答案. 【详解】由题意可知共有个数据，且，则第百分位数为. 故答案为：. 6. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】理解题干中的条件概率，利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件“发送的信号为0”，事件“接收的信号为1”， 则，，， 因此． 故答案为：. 8. 马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示： 第天 最低气温（单位） 由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程后可求得的值. 【详解】由表格中的数据可得，， 所以回归直线过点，则，解得. 故答案为：. 9. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定的最大值. 【详解】如图： 因为直线过点， 设直线与圆相交于两点，为中点，则. 当点重合时，在中，为中点，所以. 所以弦的中点在以为圆心，1为半径的圆上，易知点也在该圆上. 所以. 故答案为： 10. 已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 11. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是_____________.①；②；③；④. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④. 【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， ， 由，可得，，， 故， 所以，故①正确； ， ，所以，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则， 所以，， 所以，，故③④正确. 故答案为：①③④. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设.再结合椭圆的定义用a表示出与的值，最后在中利用余弦定理求出离心率. 【详解】已知，设. 根据椭圆定义： ，且， 则，得到. 在中，根据余弦定理， 可得：， 化简得到，即， 则，则或， 当，则， 在中，，，，， 根据余弦定理， 可得： ， 可得：，则， 可得. 当时，，不合题意，舍去， 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，前2题每题4分，后两题每题5分，否则一律得零分. 13. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案. 【详解】因为分层抽样的抽取比例为，所以应抽取40岁以上成员的人数为． 故选：B 14. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件A与B一定是对立事件 B. C. D. 若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 15. 已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由均值与方差计算概念，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，解得． 故选：D. 16. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线； （1）若，求实数的值； （2）若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，满足，解得. 所以实数的值为. 【小问2详解】 因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 18. 为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，. （1）求图中的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数； （2）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛? 【答案】（1），平均数为73 （2）2250 【解析】 【分析】（1）利用各组的频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求得这100名学生比赛成绩的平均数； （2）先求出样本中小于80分钟的频率，然后总数乘以频率可得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得， 这100名学生比赛成绩的平均数为 ； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，样本中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的频率为 ， 所以该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数约为 名. 19. 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. 【小问2详解】 易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 20. 时下流行直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有 （2），在事件条件下发生有优势 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式可求的值，结合临界值表可判断是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． （2）根据条件概率公式可求，据此值可判断在事件条件下发生有优势. （3）利用超几何分布可求的分布列，根据公式可求其期望. 【小问1详解】 由题意得． 由于，所以有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． 【小问2详解】 ， 因为，所以认为在事件条件下发生有优势． 【小问3详解】 按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人， 随机变量的可能取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 P 所以数学期望． 21. 已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； （3）设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式求出，即可求出双曲线的渐近线方程. （2）求出直线的方程，平移直线与双曲线右支相切，求出面积最小值. （3）设出直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及对称关系建立方程求解. 【小问1详解】 依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. 【小问3详解】 依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学第二附属中学2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科（试卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 设抛物线的准线方程为__________. 2. 已知，，则_________． 3. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 4. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 5. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为_________． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 6. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为______． 8. 马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示： 第天 最低气温（单位） 由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为_____________. 9. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是________. 10. 已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 11. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是_____________.①；②；③；④. 12. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，前2题每题4分，后两题每题5分，否则一律得零分. 13. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 14. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件A与B一定是对立事件 B. C. D. 若事件A、B相互独立，则 15. 已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 16. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线； （1）若，求实数的值； （2）若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 18. 为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，. （1）求图中的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数； （2）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛? 19. 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程. 20. 时下流行直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6635 10828 21. 已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； （3）设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $