四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

2024级高一下期期末学业质量监测 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（ ） 样本容量 平均数 方差 甲组 20 10 1 乙组 30 15 6 A. 10 B. C. 9 D. 3 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 当或时，z为实数 B. 若z为纯虚数，则或 C. 若复数z对应的点位于第二象限，则 D. 若复数z是方程的解，则 10. 如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与直线所成角为定值 C. 在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D. 直线与平面所成角的余弦值的范围是 11. 如图，是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若AM交BO于点N，，则 C. 的最大值为5 D. 若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题．每小题5分，共15分） 12. 计算________． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 14. 已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 16. 如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为． （1）证明平面PBO； （2）求点P到平面ABCD的距离； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心． （2）已知（），求的值． （3）已知，高2024级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围． 2024级高一下期期末学业质量监测 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题．每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）众数为65分，平均数为71.8分 （3）68分 【16题答案】 【答案】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【17题答案】 【答案】（1）（2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）；对称中心： （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $