2.2.4 圆与圆的位置关系 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.4　圆与圆的位置关系 一、基础巩固 1.(探究点一(角度1)·2025河南郑州期中)已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　) A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 2.(探究点二·2025安徽滁州期中)已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=16与圆C2:x2+(y-2)2=10相交于A,B两点,则直线AB的方程为(　　) A.4x-10y-3=0 B.4x+10y+3=0 C.4x-10y-9=0 D.4x+10y+9=0 3.(探究点三)(多选题)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程可以是(　　) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36 4.(探究点三)若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 5.(探究点二)已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的值是　　　.  6.(探究点三)半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为　　　　　　　　.  7.(探究点二)已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(m,n)(m>0,n>0)在两圆的公共弦上,则m2+n2-mn的最小值为　　　　.  8.(探究点一(角度2))若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是　　　　　　　　　　.  9.(探究点二)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是　　　　　.  10.(探究点四)已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程. 11.(探究点二)已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程. 二、能力提升 12.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 13.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　) A.x2+y2-x-=0 B.x2+y2-x+=0 C.x2+y2+x-=0 D.x2+y2+x+=0 14.圆O:x2+y2=1与圆心为直线k(x-4)-y+3=0所过的定点C,半径为的圆的公切线条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 15.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是(　　) A. B.1 C. D.2 16.(多选题)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有(　　) A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2 C.x1+x2=a D.y1+y2=2b 17.若圆x2+y2+2x-4y-5=0与x2+y2+2x-1=0相交于A,B两点,则公共弦AB的长是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 18.已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则-4x0的最大值为　　　　.  19.若点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,点P(x0,y0)是圆C2:x2+y2-6x-8y+24=0上一点,则||的取值范围为　　　　　.  20.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切? (2)m取何值时两圆内切? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 21.已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围; (2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求实数m的值; (3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求实数m的值. 参考答案 1.C　圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆心为C1(-1,-4),半径为r1=5;圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为(x-2)2+(y-2)2=10,圆心为C2(2,2),半径为r2=则两圆心距离为|C1C2|==3因为r1-r2=5-<3<5+=r1+r2,所以圆C1与圆C2相交.故选C. 2.A　圆C1,圆C2的方程可以化简为x2+y2-4x+6y-3=0,x2+y2-4y-6=0,将两圆方程相减,得4x-10y-3=0,即直线AB的方程为4x-10y-3=0.故选A. 3.CD　由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36,又由两圆内切,得=5,所以a2=16,所以a=±4.故选CD. 4.C　∵两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标都相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,方程整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|==8. 5.-1　6.(x-6)2+(y±4)2=36 7.1　圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为x+y=2. 因为点P(m,n)(m>0,n>0)在两圆的公共弦上,所以m+n=2≥2,当且仅当m=n=1时取等号,所以mn≤1,所以m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=4-3mn≥1,当且仅当m=n=1时取等号,故m2+n2-mn的最小值为1. 8.a2+b2>3+2　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),和(0,b),1.因为两圆外离,所以+1,即a2+b2>3+2 9.4　由题知O1(0,0),O2(m,0),半径分别为,2,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差的绝对值而小于两圆的半径之和,即<|m|<3又O1A⊥O2A,所以有m2=()2+(2)2=25,∴m=±5. 再根据|AO1|·|AO2|=|O1O2|,求得|AB|=2=4. 10.解 设所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3+λ(x+2y-3)=0,整理,得x2+y2+(1+λ)x+(2λ-6)y+3-3λ=0,此圆的圆心坐标是-,3-λ,由圆心在直线x+2y-3=0上,得-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.故所求圆的方程为x2+y2+2x-4y=0. 11.解 设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,其半径r1=2,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+-8=0.作O1H⊥AB(图略),点H为垂足,则|AH|=|AB|=,所以|O1H|=由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+-8=0的距离为,得=4或=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 12.C　由题意知圆C1的圆心C1(-3,1),半径长r1=2;圆C2的圆心C2(1,-2),半径长r2=2.因为两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆相离,从而|MN|的最大值为d+r1+r2=5+2+2=9.故选C. 13.A 14.D　由题意得,圆C的圆心为(4,3),半径为,所以圆O与圆C的圆心距d==5>1+,即圆O与圆C相离,故有4条公切线.故选D. 15.D 16.ABC　由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项AB正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC. 17.B　圆x2+y2+2x-4y-5=0,即(x+1)2+(y-2)2=10,所以圆心为(-1,2),半径为圆x2+y2+2x-1=0,即(x+1)2+y2=2,所以圆心为(-1,0),半径为所以两圆圆心距为=2∈(),所以两圆相交,两圆方程作差得到y=-1,即公共弦方程为y=-1.又圆(x+1)2+(y-2)2=10的圆心(-1,2)到y=-1的距离为3,所以公共弦AB的长为2=2.故选B. 18.4　5　由于两圆外切,所以=r+1,所以r=4.因为点A(x0,y0)在圆C1上,所以=1,且-1≤x0≤1,所以-4x0=1-4x0.因为-1≤x0≤1,所以-4x0的最大值为5.此时x0=-1. 19.[7,13]　设圆C1的半径为r=1,因为点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,所以圆心C1到线段MN中点的距离为,故线段MN的中点H在圆C3:x2+y2=上.因为||=2||,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1,所以|C2C3|--1≤|PH|≤|C2C3|++1,即|PH|,故||=2||∈[7,13]. 20.解 两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,m<61.圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为 (1)当两圆外切时,,解得m=25+10 (2)当两圆内切时,因为定圆的半径小于两圆圆心间的距离5,故只有=5,解得m=25-10 (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0. ∴公共弦长为2=2 21.解 (1)把方程C:x2+y2-2x-4y+m=0,配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,若方程C表示圆,则5-m>0,解得m<5,所以m的取值范围为(-∞,5). (2)把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程,得(x-4)2+(y-6)2=16,圆心坐标为(4,6),半径为4,则两圆心间的距离d==5,因为两圆的位置关系是外切,所以d=R+r,即4+=5,解得m=4. (3)因为圆心C的坐标为(1,2),则圆心C到直线l的距离d=,所以()2=|MN|2+d2,即5-m=1,解得m=4. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$