专题01 集合的概念与表示方法（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题01 集合的概念与表示方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、集合的确定性：判断元素能否构成集合 1 题型二、利用集合的互异性求参数 2 题型三、集合符号与常用集合辨析 3 题型四、集合的表示方法：描述法、列举法 5 题型五、关注条件所给常用集合的范围 6 题型六、元素的表示形式辨析 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、集合的确定性：判断元素能否构成集合 1．下列每组对象能构成一个集合是 (填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. 【答案】（2） 【详解】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 故“不超过20的非负数”能构成集合； （3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合； （4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合； （5）“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合. 故答案为：（2） 2． 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 3．以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 4．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 题型二、利用集合的互异性求参数 5． 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留， 所以有5个元素． 故选：C 6．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 7．集合中实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合元素的互异性可知： ，故本题选D. 8．由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：由于，， 因此当时，，集合含有1个元素； 当时，，，集合有2个元素； 当时，，，集合有2个元素； 所以集合中最多含有元素的个数为2. 故选：A. 题型三、集合符号与常用集合辨析 9．列元素与集合的关系判断正确的是（　　） A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z 【答案】A 【详解】0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确； 故选：A 10．用适当的符号（“”、“”、“⫋”、“”“”“”）填空 2            0 0           【答案】 ⫋ ⫋ 11．给出下列关系： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（1），正确； （2）是无理数，，不正确； （3），正确； （4），不正确． （5）∵0是自然数，∴，不正确. 综上可知：正确命题的个数为2． 故选：． 12．判断下列表述是否正确： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4） ；( ) （5）；( ) （6）；( ) （7）；( ) （8） ．( ) 【答案】 不正确 不正确 正确 正确 不正确 不正确 正确 正确 【详解】（1）因为，所以错误，故（1）不正确； （2）因为，所以错误，故（2）不正确； （3）因为，所以正确，故（3）正确； （4）因为，所以（4）正确； （5）因为，所以错误，故（5）不正确； （6）因为 ，所以错误，故（6）不正确； （7）因为空集是任何集合的子集，所以正确，所以（7）正确； （8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以正确，故（8）正确． 故答案为：（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）正确． 题型四、集合的表示方法：描述法、列举法 13．（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【答案】{红,黄}； 【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 14．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1} 【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且. 故答案为且. 点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性. 15．用适当的方法表示下列集合： （1）方程的解集； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合； （3）不等式的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 【答案】答案见解析. 【详解】（1）因为方程的解为和， 所以的解集为； （2）且； （3）； （4）. 16．用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 【详解】解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 {1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. （2）由算术平方根及绝对值的意义，可知： ，解得， 因此该方程的解集为{（﹣，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点， 故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 题型五、关注条件所给常用集合的范围 17．（2024·全国·模拟预测） 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 18．用列举法表示 ． 【答案】 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 19．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 20．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 题型六、元素的表示形式辨析 21．（2013·陕西·模拟预测）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以，即，故， 因为，且，得， 所以且，因此，故B项正确. 故选：B. 22．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝ ． 【答案】 【详解】因为M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4} 所以. 故答案为： 23．下面六种表示方法 ①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}； ④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或. 其中，能正确表示方程组的解集的是 (把所有正确答案的序号填上). 【答案】②⑤ 【解析】由题意结合集合的表示方法、解集的概念，逐项判断即可得解. 【详解】由题意方程的解为， ①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，故①不正确； ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同，故②正确； ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素，故③不正确； ④表示的是区间不是点集，故④不正确； ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等，故⑤正确； ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号，条件中“或”也要改为“且”，故⑥不正确. 故答案为：② ⑤ . 【点睛】本题考查了方程解集的表示，掌握集合的表示方法是解题关键，属于基础题. 24．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【详解】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） 3．（多选）方程的所有实数根组成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先解方程，然后利用列举法或描述法表示其解集即可 【详解】由，解得或0， 所以方程的所有实数根组成的集合为． 故选：CD 4．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合，即可求解. 【详解】由题意，集合， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以，即中元素的个数为2个. 故选：B. 5．（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集. 【详解】A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合； B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合； C选项：，两个集合相同； D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合. 故选：ABD 6．（2020·陕西西安·模拟预测）已知集合，，若中有两个元素，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由中有两个元素，可得,且， 故，实数a的取值范围是， 故选：A. 7．（2021·辽宁·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．16 B．18 C．14 D．8 【答案】A 【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可. 【详解】由题设知：， ∴所有元素之和. 故选：A. 8．（2010·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 9．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 10．具有下述性质的都是集合中的元素，即，其中，．则①，②，③中是集合的元素的是 （填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据题意，可知，其中，，则是集合中的元素，对①②③情况进行分析，分别求出与，并判断是否属于，即可判断对应的是否是集合的元素. 【详解】解：由题可知，若，其中，，则是集合中的元素， 对于①，，则，，故； 对于②，，则，，故； 对于③，由，则，，故． 故答案为：①③. 11．下列四个集合中，不同于另外三个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对选项A，，元素为实数； 对选项B，，元素为等式； 对选项C，，元素为实数； 对选项D，，元素为实数. 故选：B 12．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【详解】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C. 13．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分x，y都大于零，x，y中一个大于零，另一个小于零和x，y都小于零求解判断即可 【详解】当x，y都大于零时，； 当x，y中一个大于零，另一个小于零时，； 当x，y都小于零时，． 根据元素与集合的关系，可知，，，． 故选：AB． 14．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 【答案】B 【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②． 由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和． ，对于方程①，． 方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9； 当时，方程②无实根，故P中元素和为6； 当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P中元素的和为12. 故选：B． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念与表示方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、集合的确定性：判断元素能否构成集合 1 题型二、利用集合的互异性求参数 2 题型三、集合符号与常用集合辨析 2 题型四、集合的表示方法：描述法、列举法 3 题型五、关注条件所给常用集合的范围 3 题型六、元素的表示形式辨析 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、集合的确定性：判断元素能否构成集合 1．下列每组对象能构成一个集合是 (填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. 2． 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 3．以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 4．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 题型二、利用集合的互异性求参数 5． 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 7．集合中实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三、集合符号与常用集合辨析 9．列元素与集合的关系判断正确的是（　　） A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z 10．用适当的符号（“”、“”、“⫋”、“”“”“”）填空 2            0 0           11．给出下列关系： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．判断下列表述是否正确： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4） ；( ) （5）；( ) （6）；( ) （7）；( ) （8） ．( ) 题型四、集合的表示方法：描述法、列举法 13．（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 14．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    15．用适当的方法表示下列集合： （1）方程的解集； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合； （3）不等式的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 16．用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 题型五、关注条件所给常用集合的范围 17．（2024·全国·模拟预测） 18．用列举法表示 ． 19．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 20．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型六、元素的表示形式辨析 21．（2013·陕西·模拟预测）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 22．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝ ． 23．下面六种表示方法 ①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}； ④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或. 其中，能正确表示方程组的解集的是 (把所有正确答案的序号填上). 24．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 3．（多选）方程的所有实数根组成的集合为（    ）． A． B． C． D． 4．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2020·陕西西安·模拟预测）已知集合，，若中有两个元素，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 7．（2021·辽宁·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．16 B．18 C．14 D．8 8．（2010·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 9．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 10．具有下述性质的都是集合中的元素，即，其中，．则①，②，③中是集合的元素的是 （填序号） 11．下列四个集合中，不同于另外三个的是（    ） A． B． C． D． 12．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 13．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$