第20讲 立体几何的综合问题-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第20讲 立体几何综合问题 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．外接球问题 2．内切球问题 3．立体几何中的动态问题 4．立体几何中的角度问题 考法一　简单几何体的外接球问题 例1．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，则球O的体积为(　　) A． B． C．16π D．16π 练习1．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， △ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 练习2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点．若PB＝1，∠APB＝，则三棱锥P-AOB的外接球的体积是 ． 考法二　简单几何体的内切球问题 例2．在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切．若该圆锥体积的最小值为，则R＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 练习1．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． 练习2．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A． B． C． D．2π 考法三　求动点的轨迹(长度) 例3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为(　　) A． B． C．2 D．π 练习1．已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)PQ＝.设线段PQ的中点的轨迹为s，则s的长度为(　　) A． B． C． D．2 考法四　求线段的范围问题 例4．在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P-ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[1,3] C．[－1,2] D．[1，＋1] 练习1．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内．若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P与点C1的最短距离是(　　) A． B． C．1 D． 考法五　求角的最值问题 例5．如图，平面ACD⊥α，B为AC的中点，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P为α内的动点，且点P到直线BD的距离为，则∠APC的最大值为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 练习1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D． 考法六　位置关系的判断 例6． (多选题)下列命题错误的是(　　) A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 练习1．(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论成立的是(　　) A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD 考法七　空间中数量关系的运算 例7． (多选题)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC．若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(　　) A．△PAB是钝角三角形 B．此球的表面积等于5π C．BC⊥平面PAC D．三棱锥A-PBC的体积为 练习1．(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是(　　) A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B．点C到平面ABC1D1的距离为 C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为 D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径为 考法八　以立体几何为背景的向量运算 例8．(多选题)在四面体P-ABC中，以下说法中正确的有(　　) A．若＝＋，则＝3 B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ C．若·＝0，·＝0，则·＝0 D．若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 练习1．(多选题)已知O，A，B，C为平面上两两不重合的四点，且x＋y＋z＝0(xyz≠0)，则(　　) A．当且仅当xyz<0时，O在△ABC的外部 B．当且仅当x∶y∶z＝3∶4∶5时，S△ABC＝4S△OBC C．当且仅当x＝y＝z时，O为△ABC的重心 D．当且仅当x＋y＋z＝0时，A，B，C三点共线 1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 3．已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球体积为（ ） A． B． C． D． 5．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 ． 6．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 7．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为 ；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为 ． 1．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 2．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 3．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ） A． B． C． D． 4．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 5． 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第20讲 立体几何综合问题 适用学科 数学 适用年级 高三 考法一　简单几何体的外接球问题 例1．A　练习1．B　练习2．π　 考法二　简单几何体的内切球问题 例2．B　练习1．B　练习2．A　 考法三　求动点的轨迹(长度) 例3．B　练习1．A　 考法四　求线段的范围问题 例4．A　练习1．A　 考法五　求角的最值问题 例5．B　 练习1．D　 考法六　位置关系的判断 例6． ABD　 练习1．ACD　 考法七　空间中数量关系的运算 例7． BC　练习1．ABD　 考法八　以立体几何为背景的向量运算 例8．ABC　练习1．CD　 1．A 2．C 3．C 4．A 5． 6．7． 1．D 2．C 3．D 4．B 5． . $$