第16讲 等比数列-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第16讲 等比数列 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．等比数列的基本量． 2．等比数列的性质． 3．等比数列的前n项和． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．定义的递推公式为＝q(常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. (1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0. ②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数． (2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前n项和公式： Sn＝ (1)等比数列通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1还可以改写为an＝·qn，当q≠1且a1≠0时，y＝qx是指数函数，y＝·qx是指数型函数，因此数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一些孤立的点． (2)求等比数列前n项和时要对公比q是否等于1进行分类讨论． 3．等比数列的有关性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{ban}，，{a}，{an·bn}，，{pan·qbn}和仍然是等比数列(其中b，p，q是非零常数)． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk. (5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 4．等比数列{an}的单调性 满足的条件 单调性 或 {an}是递增数列 或 {an}是递减数列 {an}是常数列 q<0 {an}是摆动数列 5.常用结论 (1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 考点1　等比数列基本量的运算 1．已知公比大于0的等比数列{an}满足a1＝3，前三项和S3＝21，则a2＋a3＋a4＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 2．在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝ ． 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝ ． 4． 18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0,3,6,12,24,48,96,192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196，….再每一项除以10得到：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0，…，这个数列称为提丢斯数列，则提丢斯数列的通项公式an＝ ． 考点2　等比数列的性质及应用 例1． (1)等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．15 C．8 D．2＋log35 (2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn.若＝，则公比q＝ ． 变式1．本例(1)条件不变， 则loga1＋loga2＋…＋loga10＝ ． 变式2．本例(1)把条件变为“在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 017－a＋2a2 019＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 018＝a2 018”，试求log2(b2 017·b2 019)的值． 练习1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S5＝8，S10＝7，求a11＋a12＋a13＋a14＋a15的值． 考点3　等比数列的判定和证明 考向1　用等比数列的定义证明 例2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n. (1)证明：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和． 考向2　用等比中项法证明等比数列 例3．在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 练习1．设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{a}；③{2 }；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是(　　) A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．②④ 练习2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 3．在数列{an}中，已知an＋1an＝2an－an＋1，且a1＝2(n∈N*)． (1)求证：数列是等比数列； (2)设bn＝a－an，且Sn为{bn}的前n项和，试证：2≤Sn＜3. 多解探究： 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝20，S20＝60，则S30＝ ． 变式：等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为 ． 1．设Sn为等比数列{an}的前n项和．已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　) A．3　 　　 　B．4　 　　 　C．5　 　　 　D．6 2．已知正项等比数列{an}，向量a＝(a3，－8)，b＝(a7,2)．若a⊥b，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝(　　) A．12 B．16 C．18 D．6＋log25 3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　) A．2　　 B．2　 　C．2　 　D．2 4．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为(　　) A． B． C． D． 5．已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S10＝20，则S30－2S20＋S10的最小值为(　　) A．10　　 B．5　　 C．－5　　 D．－10 6．在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝ ． 7．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项的和S奇＝255，所有偶数项的和S偶＝－126，末项是192，则公比为 ，首项a1等于 ． 8．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋a3a4＋a5a6＝ ． 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列． 1．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝1，＋＋＝，则(　　) A．{an}必是递减数列 B．S5＝ C．公比q＝4或 D．a1＝4或 2．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　) A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的是(　　) A．数列{an＋1}是等差数列 B．数列{an＋1}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D．Tn＜1 4．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为 ，数列{an}的前n项和Sn＝ ． 5． Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn. (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 等比数列 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　等比数列基本量的运算 1．B 2．4或－4　3．　 4． an＝n∈N* 考点2　等比数列的性质及应用 例1． B　(2)－　 变式1．30　 变式2．解：因为等差数列{an}中a2 017＋a2 019＝2a2 018，所以2a2 017－a＋2a2 019＝4a2 018－a＝0. 因为各项不为零，所以a2 018＝4. 因为数列{bn}是等比数列， 所以b2 017·b2 019＝a＝16， 所以log2(b2 017·b2 019)＝log216＝4. 练习1．解：因为a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝S15－S10，且S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列，即8，－1，S15－S10成等比数列，所以8(S15－S10)＝1，即S15－S10＝，所以a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝. 考点3　等比数列的判定和证明 考向1　用等比数列的定义证明 例2．(1)证明：因为bn＝an＋n，所以bn＋1＝an＋1＋n＋1. 又因为an＋1＝4an＋3n－1， 所以＝＝ ＝＝4. 又因为b1＝a1＋1＝1＋1＝2， 所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列． (2)解：由(1)求解知，bn＝2×4n－1， 所以an＝bn－n＝2×4n－1－n， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝2(1＋4＋42＋…＋4n－1)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝－ ＝(4n－1)－n2－n. 考向2　用等比中项法证明等比数列 例3．(1)证明：因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2， 所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)， 即＝. 因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6， 所以＝2， 所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1， 所以Sn＝－n＝3·2n－n－3. 练习1．A　解析：{an}为等比数列，设其公比为q，则通项公式为a1qn－1， 所以对于①，数列{2an}是以2a1为首项，以q为公比的等比数列； 对于②，＝q2为常数，又因为a≠0，故②为等比数列； 对于③，＝2，不一定为常数； 对于④，＝，不一定为常数． 练习2．(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. 所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， 所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． 因为bn＝an＋1－2an，所以bn＝2bn－1(n≥2)， 故数列{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， 所以－＝， 故是首项为，公差为的等差数列． 所以＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 3．证明：(1)由an＋1an＝2an－an＋1，得－＝1， 即－＝，所以－1＝. 因为a1＝2，所以－1＝－1＝－≠0， 所以＝， 即数列是等比数列． (2)因为是等比数列，且首项为－，公比为， 所以－1＝－·＝－，则an＝. 所以bn＝a－an＝an(an－1)＝·＝. 因为b1＝2，bn＝>0， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≥2. 又bn＝＝<＝≤(n≥2)， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn<2＋＋＋…＋＝2＋＝3－<3. 所以2≤Sn＜3. 多解探究：140 变式：3　 1．B　2．C　3．B　4．B　5．C　6．18　7．－2　3　8．　 9．解：(1)设{an}的公比为q， 则解得 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)得Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列． 10．证明：(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， 则有a＝a1a3，即＝λ ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{an}不是等比数列． (2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)n＋1 ＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn. 又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0. 由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)． 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列． 1．BD　2．A　3．BCD　4．3　2n　 5．解：(1)由题意可得＝13，解得a1＝1，q＝3， 所以an＝3n－1，Sn＝＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列． 因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3. 故存在常数λ＝，使得数列是等比数列． 6．(1)解：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*)， 所以，当n＝1时，a1＝2×1＝2； 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， 所以a2＝4； 当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，所以a3＝8. (2)证明：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① 所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)·Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. 所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， 所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． 因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0， 所以＝2， 故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． $$