第08讲 向量的运算法则-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第08讲 向量的运算法则 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素． 2．掌握平面向量加、减、数乘运算运算及运算规则，理解其几何意义． 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为0的向量 其方向是任意的，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 平行四边形法则 减法 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 三角形法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. (1)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”．若忽视“a≠0”，则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)三点共线的等价关系： A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 考点1　向量的相关概念 例1．下面说法正确的是(　　) A．平面内的单位向量是唯一的 B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C．所有的单位向量都是共线的 D．所有单位向量的模相等 例2．下列说法正确的是(　　) A．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 3．判断下列四个命题： ①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 4．给出下列命题： ①零向量是唯一没有方向的向量； ②零向量的长度等于0； ③若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线． 其中错误的命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　 　C．2　　 D．3 考点2　平面向量的线性运算 例1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 变式1．本例条件不变，用，表示. 变式2．本例中，若＝2，其他条件不变，用，表示. 变式：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，用，表示. 考点3　平面向量线性运算的综合应用 考向1　根据平面向量的线性运算求参数的值或范围 例2． (1)在△ABC中，＋＝2，＋＝0.若＝x＋y，则(　　) A．y＝3x B．x＝3y C．y＝－3x D．x＝－3y (2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 考向2　共线向量定理 例3．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k的值为 ． 变式1．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　) A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋μ，则μ的取值范围是 ． 3．如图，在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD, E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＝ ，n＝ ． 多解探究： 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 变式：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　) A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ 3．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　) A．1　　B．－　　C．　　D．－2 5．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 6．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝ ． 7．如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为 ． 8．给出下面四个结论： ①若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋； ②若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC； ③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC； ④若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC．其中正确的结论有 (填序号)． 9．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b． (1)试用a，b表示，，； (2)证明：B，E，F三点共线． 1．(多选题)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值可能是(　　) A．　　 B．2　　 C．　　 D．3 2．(多选题)如图，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则(　　) A．＝＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 3．如图，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D．若＝m＋n，则m＋n的取值范围是 ． 4．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值． 5．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋sin α(α是锐角)总成立，求α． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第08讲 向量的运算法则 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　向量的相关概念 例1．D　 例2．D　 3．A　 4．B　 考点2　平面向量的线性运算 例1．B　 变式1．解：＝＋＝(＋) ＝(＋－) ＝－ ＝－(＋) ＝－ ＝－. 变式2．解：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 变式：解：根据题意得，＝＋. 又＝＝，＝， 所以＝＋＝＋. 考点3　平面向量线性运算的综合应用 考向1　根据平面向量的线性运算求参数的值或范围 例2． D　 (2)D　 考向2　共线向量定理 例3．－　 变式1．B　 2．　 3．　－　 多解探究： B　 1．B　2．A　3．D　4．B　5．D　6．2　7．2∶1　8．①④　 9．(1)解：在△ABC中，因为＝a，＝b， 所以＝－＝b－a，＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝－＋＝－a＋b. (2)证明：因为＝－a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝.所以＝，与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线． 1．BCD　2．BD　3．(－1,0)　 4．解：设＝a，＝b， 由题意知＝×(＋)＝(a＋b)， ＝－＝nb－ma， ＝－＝a＋b. 由P，G，Q三点共线得，存在实数λ， 使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb， 从而消去λ得＋＝3. 5．解：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得＝λ， 所以－＝λ(－)， 即＝(1－λ)＋λ， 所以所以sin α＝cos α. 因为α是锐角，所以α＝45°. $$