第03讲 指数函数与对数函数-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第03讲 指数函数与对数函数 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．指数与对数的互化． 2．对数函数的图像与性质． 1．n次方根 (1)根式的概念 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 ①当n为奇数时，＝a； ②当n为偶数时，＝|a|＝ 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正数的正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指数幂的运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) 3．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 4．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 10．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 5．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 6．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③a＝N； ④logaaN＝N(a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 换底公式的三个重要结论 (1)logab＝． (2)logbn＝logab． (3)logab·logbc·logcd＝logad． 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R． 7．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 减函数 增函数 考点1　指数幂的化简与求值 例1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 2．化简·(a＞0，b＞0)＝ ． 3．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝ ． 考点2　指数函数的图象及应用 例1．(1)已知函数f (x)＝2x－2，则函数y＝|f (x)|的图象可能是(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 ． 变式1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为 ． 变式2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是 ． 变式3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为 ． 考点3　指数函数的性质及应用 考向1　比较大小 例1．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 考向2　解指数方程或不等式 例2． (1)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为 ． (2)设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是 ． 考向3　指数型函数的单调性 例3．已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是 ． 考向4　指数型函数的最值 例4．若函数f (x)＝有最大值3，则a＝ ． 变式1．已知f (x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为(　　) A．f (b)＜f (a)＜f (c) B．f (c)＜f (b)＜f (a) C．f (c)＜f (a)＜f (b) D．f (b)＜f (c)＜f (a) 变式2．若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0 C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0 变式3．函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) 变式4．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 变式5．函数f (x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是 ． 考点4　对数运算问题 例1．填空： (1)lg 25＋lg 2－lg－log29×log32的值是 ． (2)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为 ． (3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ ． 例2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A． B． C． D． 考点2　对数函数的图象及应用 例1． (1) 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)，则函数f (x)的大致图象为(　　) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) 变式1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为 ． 变式2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为 ． 考点3　对数函数的性质及应用 考向1　比较函数值的大小 例2．设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 考向2　对数方程或不等式问题 例3．(1)设函数f (x)＝若f (a)＞f (－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) (2)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为 ． 考向3　对数函数性质的综合问题 例4．若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－4,4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4) 变式1．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 变式2．已知不等式logx(2x2＋1)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是 ． 变式3．若函数f (x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝ ． 1．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是(　　) 　　 A 　　　　　　B 　　　　　　C 　　　　　D 2．××的化简结果为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，0<b<1 D．0<a<1，b<0 4．已知a＝()，b＝2，c＝9，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 5．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a＝± D．a＋＝2 6．已知f (x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x)的值域为(　　) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 7．方程4x－2x＋1－3＝0的解集是 ． 8．函数f (x)＝的单调递减区间为 ． 9．函数y＝的定义域是(　　) A．[1,2] B．[1,2) C． D． 10．若0<x<1，则下列结论正确的是(　　) A．>2x>lg x B．2x>lg x> C．2x>>lg x D．lg x>>2x 11．设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 12．若函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f (x)＝，则f (2)＋g(4)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 13．(多选题)在同一直角坐标系中，f (x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则(　　) A．k＞0,0＜b＜1 B．k＞0，b＞1 C．f g(1)＞0(x＞0) D．x＞1时，f (x)－g(x)＞0 14．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　) 15．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.下列各数中与最接近的是(　　) (参考数据：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 16．已知函数f (x)＝log2(x2＋a)．若f (3)＝1，则a＝ ． 17．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ；若点A也在函数f (x)＝3x＋b的图象上，则f (log32)＝ ． 18．若函数f (x)＝x2－(a－2)x＋1(x∈R)为偶函数，则loga＋log＝ ． 19．设f (x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f (1)＝2． (1)求a的值及f (x)的定义域； (2)求f (x)在区间上的最大值． 1．(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．当a>0，且a≠1时，有a3>a2 B．y＝()－x是增函数 C．y＝2|x|的最小值为1 D．在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称 2．设函数f (x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．M<N D．M>N 3．已知函数f (x)＝的图象关于点对称，则a＝ ，f (x)的值域为 ． 4．已知函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的图象关于y轴对称．当函数y＝f (x)和y＝g(x)在[a，b]上同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f (x)的“不动区间”．若[1,2]为函数f (x)＝|2x＋t|的“不动区间”，则实数t的取值范围为 ． 5．已知定义在R上的函数f (x)＝2x－. (1)若f (x)＝，求x的值； (2)若2tf (2t)＋mf (t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 6．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·＝(　　) A．2 B．4 C． 6 D．8 7． Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 8．已知函数f (x)＝|ln x|.若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 9．(多选题)已知函数f (x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　) A．f (x)在(2,6)上单调递增 B．f (x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 C．f (x)在(2,6)上单调递减 D．y＝f (x)的图象关于直线x＝4对称 10．(多选题)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　) A．＜＜ B．＝＝ C．＜＜ D．＜＜ 11．有些银行存款按照复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息．假设最开始本金为a元，每期利率为r时，在x期后本息和为f (x)．若f (x)≥2a，则a(1＋r)x≥2a，解得x≥.银行业中经常使用的“70”原则：因为ln 2≈0.693 15，而且当r比较小时，ln(1＋r)≈r，所以≈≈.若r＝3%，f (x)≥2a.则x的最小整数值为(　　) A．22 B．25 C．23 D．24 12．已知函数f (x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)． (1)当x∈[0,2]时，函数f (x)恒有意义，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1? 如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第03讲 指数函数与对数函数 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　指数幂的化简与求值 例1．D　2．　3．－　 考点2　指数函数的图象及应用 例1．B　(2) (0,1)　 变式1．(－∞，0]　 变式2．[－1,1]　 变式3．　 考点3　指数函数的性质及应用 考向1　比较大小 例1．A　 考向2　解指数方程或不等式 例2． 　(2)(－3,1)　 考向3　指数型函数的单调性 例3．(－∞，4]　 考向4　指数型函数的最值 例4．1　 变式1．B　 变式2．A　 变式3．C　 变式4．D　 变式5．[0，＋∞)　 考点4　对数运算问题 例1．(1)－　(2)2　(3)　例2．C　 考点2　对数函数的图象及应用 例1．C(2)B　 变式1．　变式2．　 考点3　对数函数的性质及应用 考向1　比较函数值的大小 例2．C　 考向2　对数方程或不等式问题 例3．C　 (2)x＝　 考向3　对数函数性质的综合问题 例4．D　 变式1．B　变式2．　变式3．2 1．D　2. B　3．D　4．A　5．ABD　6．C　7．x＝log23　8．(－∞，1]　 9．D　10．C　 11．D　12．D 13．AD　 14．B 15．D 16．－7　 17．　1　18．－2　 19．解：(1)因为f (1)＝2，所以loga4＝2(a＞0，且a≠1)，所以a＝2. 由得－1＜x＜3. 所以函数f (x)的定义域为(－1,3)． (2)f (x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)·(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4](－1<x<3)． 所以当x∈(－1,1]时，f (x)单调递增；当x∈(1,3)时，f (x)单调递减． 故函数f (x)在上的最大值是f (1)＝log24＝2. 1．CD　2．D　3．1　(0,1)4．　 5．解：(1)当x<0时，f (x)＝0，无解． 当x≥0时，f (x)＝2x－. 由2x－＝， 得2×22x－3×2x－2＝0. 将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x＝2或2x＝－. 因为2x>0，所以x＝1. (2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)． 因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)恒成立． 因为t∈[1,2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m的取值范围是[－5，＋∞)． 6．B　 7．C　8．C　9．BD10．ABC　 11．D　 12．解：(1)设t(x)＝3－ax，因为a>0， 所以t(x)＝3－ax为减函数． 当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a. 因为当x∈[0,2]时，f (x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． 所以3－2a>0，所以a<. 又a>0且a≠1，所以0<a<1或1<a<. 所以实数a的取值范围为(0,1)∪. (2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数． 因为f (x)在区间[1,2]上单调递减， 所以y＝logat在[1,2]上单调递增，所以a>1. 当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f (x)的最大值为f (1)＝loga(3－a)， 所以即 故不存在实数a，使得函数f (x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1. $$