第04讲 基本不等式（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第04讲 基本不等式 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 1．基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0． （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同号)． （3）ab≤(a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用结论 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 一、利用基本不等式求最值 角度一：通过配凑法利用基本不等式求最值 例1．（1）已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为 ． （2）函数y＝(x>1)的最小值为 ． 角度二：通过常数代换利用基本不等式求最值 例2．若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 角度三：通过消元法利用基本不等式求最值 例3．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 角度四：多次利用基本不等式求最值 例4．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． 规律方法： （1）利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． （2）常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值． （3）当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． （4）当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法． 变式训练： 已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为 ． 二、基本不等式的实际应用 例5．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品（　　） A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 反思提升： 利用基本不等式求解实际问题的注意事项 （1）根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． （4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 变式训练： 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是 万元． 三、基本不等式的综合应用 角度一：与其他知识的交汇问题 例6．（1）已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过(0，1)，则＋的最小值是 ． （2）在锐角三角形中，已知，则的最小值为 ． 角度二：求参数的值或取值范围 例7．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ． 规律方法： （1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． （2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． （3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． 变式训练： 1．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是（　　） A．2 B．2 C．4 D．2 2．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为 ． 3．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 ． 四、利用均值定理连续放缩求最值 例8．已知a>b>0，那么a2＋的最小值为 ． 例9．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是 ． 思维升华： 利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．　 变式训练： 已知正实数a，b，c，d满足a＋b＝1，c＋d＝1，则＋的最小值是（ ） A．10 B．9 C．4 D．3 1．下列不等式一定成立的是（ ） A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 2．已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是（ ） A．15 B．12 C．5 D．3 3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为（ ） A． B． C．－1 D．0 4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（ ） A． B．2 C．2 D．4 5．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是（ ） A． B． C． D．3 6．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为 ． 7．已知函数f(x)＝，则f(x) 的最大值为 ． 8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为 ． 9．（1）当x<时，求函数y＝x＋的最大值； （2）设0<x<2，求函数y＝的最大值． 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值． 1．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为（ ） A．9 B．12 C．18 D．24 2．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）设，，，，以下四个命题中正确的是（ ） A．若为定值，则有最大值 B．若总成立，则的取值范围为 C．若，则有最小值4 D．若，则有最大值4 5．（多选）下列四个命题中，是真命题的是（ ） A．，且， B．若，，则 C．函数，值域为， D．已知函数在区间，上的最大值是10，则实数的取值范围为， 6．（多选）已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2 7．若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为 ． 8．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，则k的取值范围是 ． 9．已知锐角、满足，则的最小值为 ． 10．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20．求： （1）u＝lg x＋lg y的最大值； （2）＋的最小值． 12．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． （1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第04讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）；（2）2＋2 例2．C 例3．6 例4．4 变式训练：7＋4 例5．B 变式训练：8 例6．（1）9；（2） 例7．4 变式训练：1．C 2．5＋2 3． 例8．4 例9．4 变式训练：B 1．C 2．C 3．D 4．C 5．D 6．2＋ 7．1 8．2 9．解：（1）y＝(2x－3)＋＋＝－＋． 当x<时，有3－2x>0， 所以＋≥2＝4， 当且仅当＝， 即x＝－时取等号． 于是y≤－4＋＝－， 故函数的最大值为－． （2）因为0<x<2，所以2－x>0， 所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x， 即x＝1时取等号， 所以当x＝1时，函数y＝的最大值为． 10．解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 则1＝＋≥2 ＝． 得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． （2）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18． 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18． 1．B 2．C 3．C 4．BC 5．BCD 6．AB 7． 8．(－∞，2－1) 9．32 10．16 11．解：（1）因为x>0，y>0， 所以由基本不等式，得2x＋5y≥2， 因为2x＋5y＝20， 所以2≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得 此时xy有最大值10， 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1， 所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1； （2）因为x>0，y>0， 所以＋＝·＝≥＝， 当且仅当＝时，等号成立． 由 解得 所以＋的最小值为． 12．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， 所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×(元)， 所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)． （2）因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． $$