第01讲 集合（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第01讲 集合 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算． 1．集合与元素 （1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． （2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 表示 关系 　 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 常用结论 1．三种集合运用的性质 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 2．集合基本关系的四个结论 （1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集． （2）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．空集只有一个子集，即它本身． （3）集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC． （4）含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 一、集合的概念 例1．（1）设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有 A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 （2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝ ． （3）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为 ． （4）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为 ． 反思提升： 求解与集合中的元素有关问题的注意事项 （1）如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． （2）如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性． 二、集合的基本关系 例2．（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则（　　） A．B⊆A B．A＝B C．AB D．BA （2）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 ． 【迁移探究1】本例（3）中，若BA，求m的取值范围？ 【迁移探究2】本例（3）中，若A⊆B，求m的取值范围． 【迁移探究3】若将本例（3）中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，试求m的取值范围． 规律方法： （1）判断两集合关系的方法 ①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． （2）根据两集合间的关系求参数的方法 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． [提醒]　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝和B≠两种情况讨论． 变式训练： 1．设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则 A．MN B．NM C．M＝N D．M∪N＝R 2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为 ． 三、集合的基本运算 角度一：集合的运算 例3．（1）已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝ A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} （2）若集合A＝{x|2x2－9x>0}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝ A． B． C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 角度二：利用集合的运算求参数 例4．（1）已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠，则实数a的取值范围是 A．[1，＋∞) B． C． D．(1，＋∞) （2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为 ． （3）已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是 ． 规律方法： （1）集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． （2）利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 变式训练： 1．已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝（　　） A．[0，1] B．[－1，1] C．[0，1) D．(0，1] 2．如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{2，4} B．{7，8} C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5} 3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（　　） A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2} 四、集合新定义问题中的核心素养 例5．（1）定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}， 则集合A⊙B的所有元素之和为（　　） A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α （2）设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝（　　） A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1} 思维升华： （1）以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象． （2）解决集合的新定义问题的两个切入点 ①正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等； ②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质． 变式训练： 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有 个． 1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝（　　） A．{2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 2．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝（　　） A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 3．已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0，1)，则A∩B＝（　　） A．(0，1) B．(0，1] C．(－1，1) D．[－1，1] 4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 5．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝（　　） A．－2 B．0 C．1 D．2 8．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（　　） A．{1} B．{－1，1} C．{1，0} D．{－1，1，0} 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（　　） A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2) C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1] 10．已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ． 12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为 ． 13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 问题：已知集合，，，是否存在实数，使得 ？ 1．已知M，N均为R的子集，且MN，则MN＝（　　） A． B．M C．N D．R 2．已知集合，，，，若，则（　　） A．， B．， C．，1， D． 3．若集合中只有一个元素，则实数的值为（　　） A． B．0 C．4 D．0或 4．已知集合，，若，则（　　） A．，2， B．，2，3， C．，1， D．，1，2， 5．已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B．， C． D．， 6．（多选）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）若非空数集满足任意，，都有，，则称为“优 集”．已知，是优集，则下列命题中正确的是（　　） A．是优集 B．是优集 C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集 8．（多选）设、、均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知函数，若，则的取值范围是 ． 10．若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合，，，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则的值为 ． 11．已知集合，，，，． （1）若，，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）C；（2）0或；（3）(16，＋∞)；（4）－ 例2．（1）C；（2）D；（3）(－∞，3] 迁移探究1：m的取值范围为(－∞，3] 迁移探究2：m的取值范围为 迁移探究3：m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞) 变式训练：1．C 2．A 3．[－2，2) 例3．（1）C；（2）C 例4．（1）C；（2）4；（3）[－3，4] 变式训练：1．A 2．A 3．B 例5．（1）B；（2）D 变式训练：6 1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．D 11．[－1，2)　(－∞，3] 12．[1，＋∞) 13．解：集合，， 当时，， 当时，， 当时，， ，，， 若选择①，则，， 当时，要使，，则，； 当时，，满足题意； 当时，不满足题意， 选择①，则实数的取值范围是，． 若选择②，则， 当时，，，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，，，不满足题意， 选择②，则实数的取值范围是． 若选择③，则， 当时，，，，， ，，不满足题意； 当时，，，，，满足题意； 当时，，，，，，，满足题意， 选择③，则实数的取值范围是，． 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．BC 7．ACD 8．ACD 9．[0，4) 10．0或1或4 11．解：，； （1），； ； ； （2），或； ； 或； 或； 的取值范围为，，． $$