第15讲 平面向量基本定理与坐标运算（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第15讲 平面向量基本定理与坐标运算 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 常用结论 （1）基底需要的关注三点 ①基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． ②基底给定，同一向量的分解形式唯一． ③如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到． （2）共线向量定理应关注的两点 ①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0． ②判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． （3）两个结论 ①已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． ②已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 一、平面向量基本定理的应用 例1．（1）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　) A．－　　　 　 B．－ C．－＋ D．－＋ （2）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ． 规律方法：平面向量基本定理应用的实质和一般思路 （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 变式训练： 1．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　) A．－　　　 B．－1　　　　 C．　　　 D．－ 2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线． （1）在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值； （2）已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值． 二、平面向量的坐标运算 角度一：已知向量的坐标进行坐标运算 例2．（1）已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) （2）平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为 ． 角度二：解析法（坐标法）在向量中的应用 例3．（1）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈ R)，则＝ ． （2）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的 圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为 ． 规律方法： （1）向量坐标运算的策略 ①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行； ②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标； ③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． （2）向量问题坐标化 当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解． 变式训练： 1．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A． B． C． D． 2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为 ． 三、平面向量共线的坐标表示 角度一：利用两向量共线求参数或坐标 例4．（1）已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝ ． （2）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 ． 角度二：利用向量共线求解三点共线问题 例5．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－　　 B．　　　 C．　　 D． 规律方法： （1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)． （2）利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 变式训练： 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________． 2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)． （1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ （2）若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 四、平面向量与三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 （1）O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝． （2）O为△ABC的重心⇔＋＋＝0． （3）O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·． （4）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0． （一）平面向量与三角形的“重心”问题 例6．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点 （二）平面向量与三角形的“内心”问题 例7．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A．　　 B．　　　 C．4　　 D．6 （三）平面向量与三角形的“垂心”问题 例8．已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （四）平面向量与三角形的“外心”问题 例9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实 数对(x，y)为(　　) A． B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－2　　 B．－4　　　 C．－3　　 D．－1 2．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　) A． B．(－6，8) C． D．(6，－8) 3．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，4)　　　 B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞) 5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．2　　 B．　　　 C．2　　 D．4 6．在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________． 7．已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________． 8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________． 9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. （1）求3a＋b－3c； （2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n； （3）求M，N的坐标及向量的坐标． 10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值． 1．设，是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是(　　) A．＋和﹣ B．和＋ C．＋3和＋3 D．3﹣2和4﹣6 2．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(，)，＝(sinx，cosx)，x(0，π)，若∥，则tanx的值(　　) A．4 B．3 C．﹣1 D．0 3．已知P＝，Q＝{b|b＝(1，1)＋n(－1，1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　) A． B． C． D． 4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设x1＋y1，＝x2＋y2，则＋＝(　　) A． B．2 C． D．＋1 5．已知向量＝(1，3)，＝(2，)，若∥()，则单位向量＝ ． 6．如图，在矩形OABC中，点E、F分别在AB、BC上，且满足AB＝3AE，BC＝3CF，若 (，∈R)，则＝ ． 7．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________． 8．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________． 9．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值． 10．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线． （1）求AD的长度； （2）过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第15讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）C；（2）． 变式训练：1．D 2．解：（1）因为＝2，所以＝， 所以＝(－)＝－， 又因为＝r＋s， 所以r＝，s＝－， 所以r＋s＝0． （2）因为四边形OABP为平行四边形， 所以＝＋， 又因为＝m＋， 所以＝＋(m＋1)， 依题意，是非零向量且不共线， 所以m＋1＝0， 解得m＝－1． 例2．（1）A；（2）－1． 例3．（1）4；（2）3． 变式训练：1．D 2．2 例4．（1）－8；（2）(2，4)． 例5．A 变式训练：1． 2．解：（1）ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. （2）法一：因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以，解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因为A，B，C三点共线， 所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0，所以m＝． 例6．C 例7．B 例8．B 例9．A 1．D 2．D 3．A 4．C 5．A 6．－ 7． 8．1 9．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． （1）3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． （2）因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 （3）设O为坐标原点，因为＝－＝3c， 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b， 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)． 10．解：不妨设⊙O的半径为1，以圆心O为坐标原点，以OB，OD为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C． 所以＝， ＝.又＝x＋y， 所以＝x(－1，0)＋y． 所以解得 所以x＋y＝－＝－． 1．D 2．C 3．A 4．C 5．±(，) 6． 7．(0，2) 8．x＋y－2＝0 9．解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得 解得所以m＋n＝＋＝3. 法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3. 10．解：（1）根据角平分线定理：＝＝2，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝． （2）因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋， 因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3． $$