第10讲 对数与对数函数（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第10讲 对数与对数函数 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的对数函数的图象． 3．体会对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数(a＞0，且a≠1)与对数函数( a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1) 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．换底公式的三个重要结论：①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad． 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b． 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 一、对数式的化简与求值 例1．（1）计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为 ． （2）若lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则log的值为 ． （3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于 ． （4）已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________． 规律方法： 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． （2）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 二、对数函数的图象及应用 例2．（1）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是 （2）已知函数f(x)＝，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围 ． 规律方法： 对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式训练： 1．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1 2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ． 三、对数函数的性质及应用 角度一：比较大小 例3．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 规律方法： 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 角度二：解简单对数不等式 例4．已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是 ． 规律方法： 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax>logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论 logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 [提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1． 角度三：与对数函数有关的综合问题 例5．已知函数f(x)＝loga(3－ax)． （1）当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； （2）是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． 规律方法： 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 变式训练： 1．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为 A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 2．若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．(0，＋∞) 3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是 ． 四、数形结合法在对数函数问题中的应用 例6．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则 A．x1x2<0 B．x1x2＝0 C．x1x2>1 D．0<x1x2<1 思维升华： 一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式训练： 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是 ． 1．函数y＝的定义域是 A．[1，2] B．[1，2) C． D． 2．已知a＝log35，b＝1.51.5，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是 A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 3．如果logx<logy<0，那么 A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x 4．函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是 5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是 A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1 C．1<a<2 D．a≥2 6．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝ ． 7．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是 ． 8．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝ ． 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2． （1）求a的值及f(x)的定义域； （2）求f(x)在区间上的最大值． 10．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)． （1）求a的值； （2）若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域； （3）在（2）的条件下，求g(x)的单调减区间． 1．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则 A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y 2．已知x1＝log2，x2＝2－，x3满足＝log3x3，则 A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x1<x3 D．x3<x1<x2 3．已知实数，，分别满足，，，那么 A． B． C． D． 4．正数，满足，则的值是 A． B． C． D． 5．（多选）已知，，则 A． B． C． D． 6．（多选）已知，，则 A． B． C． D． 7．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为 ． 8．函数且在，上的最大值与最小值之和为，则的值为 ． 9．若，是方程的两个根，则 ． 10．设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为 ． 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx． （1）求函数f(x)的解析式； （2）解不等式f(x2－1)>－2． 12．设函数． （1）若（2），求的取值范围； （2）记的反函数为，若在，上恒成立，求的最小值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第10讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）2；（2）2；（3）；（4） 例2．（1）D；（2）(21，24) 变式训练：1．D 2．(1，＋∞) 例3．D 例4． 例5．（1）因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax， 则t(x)＝3－ax为减函数， x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a， 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立． 所以3－2a>0.所以a<， 又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪， （2）t(x)＝3－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数． 因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以y＝logat为增函数， 所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)， 所以即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1． 变式训练：1．A 2．A 3． 例6．D 变式训练：(0，1) 1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6． 7．7 8．9 9．解：（1）因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，所以a＝2， 由得－1<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)． （2）f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2． 10．解：（1）函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)， 可得loga4＝2，解得a＝2． （2）g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)， 由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1， 可得g(x)的定义域为(－1，1)． （3）g(x)＝log2(1－x2)， 由t＝1－x2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减， 且y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增， 可得函数g(x)的单调减区间为(0，1)． 1．B 2．A 3．A 4．A 5．ACD 6．BCD 7．(－4，4] 8． 9．12 10． 11．解：（1）当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)． 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ （2）因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集为(－，)． 12．解：（1）由可得函数在上单调递减， 则由（2）可得：，解得或， 故的取值范围为，，； （2）由题意可得， 则在，上恒成立，即在，上恒成立， 只需，，， 因为，由复合函数的单调性可知函数在，上单调递减， 所以当时， 即， 所以的最小值为． $$