第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 用空间向量研究距离、夹角问题 用向量法求线线、线面、面面的夹角 求夹角 用向量法求线线、线面、面面之间的距离 求距离 二.学法指导 1．向量法求空间角的一般步骤 (1)向量表示 法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n. (2)向量运算 ①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉； ②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉； ③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉． (3)解释结论 ①由于直线a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|. ②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin θ＝|cos〈a，b〉|. ③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉|. 2．向量法求空间中的距离 (1)点A，B间的距离． d＝|| (2)点A到直线a的距离 d＝，其中B∈a，a是直线a的方向向量． (3)点A到平面α的距离． d＝，其中B∈α，n是平面α的法向量． 三.知识点贯通 知识点1 距离问题 空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 例题1．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 知识点2 求两条异面直线所成的角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 例题2．如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 知识点3 直线与平面所成的角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 例题3．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 知识点4 平面与平面的夹角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 例题4．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 知识点5 易错点分析 易错一 利用向量求异面直线所成的角 例题5．如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 误区警示 异面直线所成的角的范围是，向量所成角的范围是。 易错二 利用向量求直线与平面所成的角 例题6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． 求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 错误区警示 用向量求出的角的余弦值为直线与平面所成角的正弦值． 知识点6 核心素养聚焦 数学运算-求点到直线的距离 例题7．在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 【针对练习】 一、选择题 1．在三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（ ） A． B． C．或 D． 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于 A． B． C． D． 4．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（ ）. A． B． C． D． 5．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　） A． B． C． D． 6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（多选题）正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有（ ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与面所成角的正弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值是 二、填空题 9．如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点，，分别在，， 轴上，是线段的中点，且，当时，异面直线与所成角的余弦值为________． 10．在正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是________． 11．在空间直角坐标系中，已知，，则向量与平面的法向量的夹角的正弦值为________. 12．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________. 三、解答题 13．如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与所成二面角的正弦值． 14．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，． 求SC与平面ASD所成的角余弦值； 求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值． 15．如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 第5讲 【例题】 例1． 例2． 例3．（1）连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E­xyz. 不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)． 因此，＝，＝(－，1,0)． 由·＝0得EF⊥BC. （2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ， 由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， 由，得 取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为． 例4．(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD． (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1， 所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)， 平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)， 设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥，m⊥，所以 取z＝－，则x＝2，y＝2， 所以m＝(2,2，－)， 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为． 例5．因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，故V(0,0，)． 所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)． 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为． 例6．直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. 例7． 【针对练习】 1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．ABD 8．BD 9． 10．30° 11． 12． 13．（1）；（2） 14．（1）；（2） 15．（1）证明：如图，连接.由题设可知，. ∵， ∴. 而，， ∴平面. ∵平面， ∴. （2）如图，连接，. ∵，又，， ∴. 又， ∴平面，即平面. ∴，. 设点到平面的距离为，由， 得，解得. ∴点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$