第07讲 函数的奇偶性及周期性（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第07讲 函数的奇偶性及周期性 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2．周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 （1）奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． （2）若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0． （3）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： （1）若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． （2）若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． （3）若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 一、函数的奇偶性 角度一：判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝； （2）f(x)＝＋； （3）f(x)＝； （4）f(x)＝ 角度二：函数奇偶性的应用 例2．（1）已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝ ． （2）函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝ ． （3）已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝ ． 规律方法： （1）判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系． （2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． 变式训练： 1．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是（ ） A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 2．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝（ ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ． 二、函数的周期性 例3．（1）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时， f(x)＝－x2，则f＝（ ） A．－ B．－ C． D． （2）已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么 f2 016(2)的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 规律方法： 函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T． （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 变式训练： 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝（ ） A．5 B． C．2 D．－2 2．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)．且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为 ． 三、函数性质的综合问题 角度一：单调性与奇偶性的综合问题 例4．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则（ ） A．f>f(2－)>f(2－) B．f>f(2－)>f(2－) C．f(2－)>f(2－)>f D．f(2－)>f(2－)>f 角度二：周期性与奇偶性的综合问题 例5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是（ ） A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 角度三：单调性、奇偶性与周期性的综合问题 例6．（1）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1，0]上单调递减，则f(x)在 [1，3]上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 （2）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则 A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11) 求解策略： 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 （1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． （3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 变式训练： 1．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为（ ） A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞) C．∪(，＋∞) D．(，＋∞) 2．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________． 四、奇偶函数的二次结论及应用 结论一：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． [结论简证] 由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c． 例7．对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是（ ） A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 思维升华： 由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功． 结论二：若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称． [结论简证] 函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立． 例8．函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心为（ ） A．(－4，6) B．(－2，3) C．(－4，3) D．(－2，6) 思维升华： 此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解． 结论三：若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． [结论简证] 当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)； 当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)． 综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 例9．（1）设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是 ； （2）若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为 ． 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A．y＝ B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝ 2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝（ ） A．6 B．－6 C．4 D．－4 3．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝（ ） A． B． C．π D． 4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为（ ） A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 5．已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为（ ） A． B． C．[－1，1] D． 6．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ ． 7．已知函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－1，则f(－1)＝ ． 8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则f＝ ． 9．已知函数f(x)＝是奇函数． （1）求实数m的值； （2）若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x． （1）求f(π)的值； （2）当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积． 1．已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f C．f<f<f(1) D．f<f(1)<f 3．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．由此结论可求的对称中心为（ ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当，时，，则（1）（2）（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 7．（多选）已知定义域为的函数不是奇函数，下列4个命题中为真命题的是（ ） A．函数是奇函数 B．， C．， D．， 8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题： ①f(x)是周期函数； ②f(x)的图象关于x＝1对称； ③f(x)在[1，2]上是减函数； ④f(2)＝f(0)． 其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来) 9．已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则等于 ． 10．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为 ． 11．已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是 ． 12．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数． （1）求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0； （2）若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围． 13．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f＝． （1）求实数a，b的值； （2）求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）非奇非偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）奇函数；（4）偶函数． 例2．（1）－3；（2）x－1；（3）0 变式训练：1．D 2．C 3．3 例3．（1）D；（2）C 变式训练：1．D 2． 例4．C 例5．A 例6．（1）D；（2）D 变式训练：1．B 2．2 例7．D 例8．B 例9．（1）；（2）{x|x<0或x>4} 1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．1 7． 8．－ 9．解：（1）设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x． 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0时， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2． （2）由（1）可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增． 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]． 10．解：（1）由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4． （2）由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4． 1．C 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C 7．AD 8．①②③④ 9． 10．1 11． 12．解：（1）证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立． 若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1， 因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0， 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1， 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0， 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立． （2）因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1， 故所求实数a的取值范围是[0，1)． 13．解：（1）因为f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数． 因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)， 即函数f(x)是周期为2的周期函数， 所以f(0)＝0，即b＝－1， 又f＝f＝－f＝1－＝，解得a＝； （2）当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝－1∈， 由f(x)为奇函数知，当x∈(－1，0)时，f(x)∈， 又因为f(x)是周期为2的周期函数， 所以当x∈R时，f(x)∈， 设t＝f(x)∈， 所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝－， 即y＝－∈， 故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为． $$