第01讲 空间向量及其运算（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第01讲 空间向量及其运算 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 空间向量及其运算 空间向量的概念 空间向量的概念 空间向量的线性运算 向量的加减运算 共线向量定理、共面向量定理及推论 判断空间向量共线、共面 空间向量夹角 夹角的范围与定义 空间向量的数量积 数量积的运算 用向量的数量积解决立体几何问题 利用空间向量爱夹角、距离 二.学法指导 1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 3．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 4.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 5.解决向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋zx＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. （2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 7.用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 8．利用向量数量积求夹角问题的思路 (1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小． 9．求两点间的距离或线段长的方法 (1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cos θ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影． 三.知识点贯通 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 例题1.给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是 ． 知识点2 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 例题2：已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． 知识点3 共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 例题3 .设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝ . 知识点4 向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 例题4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.(1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 知识点5 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 例题5.如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　) A．－2　 　B．2 C．－2 D．2 知识点6 利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0。 例题6.　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 知识点7 夹角问题 夹角公式： 例题7.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 知识点8 距离问题 ，向量的模： 例题8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 知识点9 易错点分析 易错一 用向量求直线所成的角 例题9.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 误区警示 向量夹角的范围与向量夹角的范围不一样。 知识点10 核心素养聚焦 考点一 逻辑推理-判断向量共线 例题10.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 考点二 数学抽象-空间向量的概念 例题11.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 考点三 数学运算-求向量夹角 例题12、已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 练习： 一、选择题 1．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 ( ) A． B． C． D． 4．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ） A． B． C． D． 5．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 6．空间任意四个点A,B,C,D,则等于(　　) A． B． C． D． 7．（多选题）若不共面，则（ ） A．共面 B．共面 C．共面 D．共面 8．在正方体中，下列结论正确的是（ ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为60° C． D． 二、填空题 9．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______． 10．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______． 11．如图，在直三棱柱中，若，则________．（用表示） 12．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________. 三、解答题 13.在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量. 14．如图，在正三棱柱中，底面的边长为. （1）设侧棱长为1，试用向量法证明：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长. 15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． (1)求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 2 学科网（北京）股份有限公司 第一讲 【例题】 例1．②③④ 例2．y＝z＝－；x＝2，y＝－2． 例3．1　 例4．(1)∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋＝－－， ∴向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 例5．A　 例6．连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)，＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. 例7．异面直线OA与BC的夹角的余弦值为. 例8．B，D间的距离为. 例9．B　 例10．与共线． 例11．，，　 ，，， 例12．D 【练习】 1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．BCD 8．ACD 9． 10． 11． 12．1; 13．,在图中表示如下图所示． 14．（1）证明：， 因为平面，所以，， 又因为为正三角形， 所以， 所以 ， 所以，∴； （2）由（1）知. 又， 所以， 所以，即侧棱的长为2. 15．（1）设，则，，， ， , 线段的长为. （2）设异面直线与所成的角为，则 , . . 故异面直线与所成角的余弦值为. $$