第09讲 指数与指数函数（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第09讲 指数与指数函数 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式 （1）根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*，式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示：xn＝a⇒ （2）根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)； ②＝ 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 一、指数幂的化简与求值 例1．（1）化简·(a>0，b>0)＝ ． （2）计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝ ． （3）化简：÷×＝ (a>0)． 规律方法： 指数幂运算的一般原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． （3）底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 二、指数函数的图象及应用 例2．（1）函数f(x)＝21－x的大致图象为（ ） （2）若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为 ． 【迁移探究1】 本例（2）变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为 ． 【迁移探究2】 若本例（2）的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是 ． 规律方法： 应用指数函数图象的4个技巧 （1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． （2）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． （3）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． （4）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　 变式训练： 1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ） A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是 ． 三、指数函数的性质及应用 角度一：指数函数单调性的应用 例3．（1）已知a＝2，b＝4，c＝25，则（ ） A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b （2）若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞－e2的x的取值范围是（ ） A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) 角度二：指数型复合函数的单调性 例4．（1）函数f(x)＝的单调递减区间为 ． （2）已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是 ． 角度三：指数函数性质的综合问题 例5．已知函数f(x)＝． （1）若f(x)有最大值3，求a的值； （2）若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 规律方法： （1）利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则． （2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 变式训练： 1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为 ． 3．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)． （1）求f(x)的定义域和值域； （2）讨论f(x)的奇偶性； （3）讨论f(x)的单调性． 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是（ ） 2．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ） A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 3．若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有（ ） A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 4．已知函数f(x)＝则函数f(x)是（ ） A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 5．设x>0，且1<bx<ax，则（ ） A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 6．函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是 ． 7．不等式<恒成立，则a的取值范围是 ． 8．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的关系式有 ．(填序号) 9．设f(x)＝． （1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性． 10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. （1）当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域； （2）若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围． 1．已知0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是（ ） A．ba B．aa C．ab D．bb 2．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是（ ） A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 3．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝ 2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则（ ） A．K的最大值为0 B．K的最小值为0 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 4．（多选）设函数，对于任意的，，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）若函数的图象不经过第二象限，则需同时满足（ ） A． B． C． D． 6．（多选），则下列，的关系中，不可能成立的有（ ） A． B． C． D． 7．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为 ． 8．已知函数，，的值域为，，则该函数的一个解析式可以为 ． 9．函数在，上的最大值与最小值之和为3，则 ． 10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． （1）求a，b的值； （2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第09讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）；（2）－；（3）a2 例2．（1）A；（2）(－∞，0] 迁移探究1：{0}∪[1，＋∞) 迁移探究2：(－∞，－1] 变式训练：1．D 2． 例3．（1）A；（2）B 例4．（1）(－∞，1]；（2）(－∞，4] 例5．（1）1；（2）0． 变式训练：1．C 2．{x|x>4或x<0} 3．解：（1）f(x)的定义域是R，值域为(－1，1)；（2）f(x)是奇函数；（3）当a>1时，f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，f(x)为R上的减函数． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．(0，1) 7．(－2，2) 8．①②⑤ 9．解：（1）根据题意，f(x)＝， 则f(－x)＝＝＝＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． （2）因为f(x)＝＝－x＋， 所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－， 因为x＞0，所以2x＋1＞2， 所以＜1， 所以－1＋＜0， 所以f′(x)＜0， 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． 10．解：（1）当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1， 令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈， 故y＝2t2－t－1＝2－， t∈，故值域为， （2）关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，设2x＝m>0， 等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g(m)＝2am2－m－1， 当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立． 当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0， 过点(0，－1)，不成立． 当a>0时，开口向上， 对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0． 1．C 2．D 3．D 4．ACD 5．AD 6．CD 7．或3 8． 9．2 10．解：（1）因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝，又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2． （2）由（1）知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数， 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－，故k的取值范围为． $$