第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 空间向量及其运算的坐标表示 空间直角坐标系中点的坐标 求中点坐标 空间向量的坐标表示及运算 坐标运算 空间向量夹角及长度 夹角、长度公式 空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 平行、垂直的坐标表示 二.学法指导 1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．” 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标． 3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 4.判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． 5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 三.知识点贯通 知识点1 求空间点的坐标 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z) 例题1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． （1）求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； （2）求点N的坐标． 知识点2 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 例题2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 知识点3 空间向量的坐标表示 若则。 例题3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 知识点4 空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 例题4．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． 知识点5 空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 例题5．(1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　) A． －2 B．－1 C．1 D．2 (2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 知识点6 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 例题6.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； 知识点7 易错点分析 易错一 空间直角坐标系中求对称点的坐标 例题7.点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________． 误区警示 在空间直角坐标系中，求点的对称点的坐标时，关于坐标平面对称时，注意应该变换哪个坐标。 知识点八 核心素养聚焦 考点一 直观想象-求空间中点、向量的坐标 例题8.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 考点二 数学运算-求空间向量的夹角 例题9.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________． 考点三 逻辑推理-证明垂直关系 例题10．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．求证：BN⊥平面C1MN． 【练习】 一、选择题 1．求空间中点关于平面的对称点与的长度为（ ） A． B． C． D． 2．设，向量，且，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 4．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为（ ） A． B． C． D． 5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 6．已知向量.若，则x的值为（ ） A． B．2 C．3 D． 7．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 8．（多选题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则为单位向量 二、填空题 9．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 10．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为 . 11．已知点（为坐标原点），则点的坐标为 . 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 .  三、解答题 13．已知在空间直角坐标系中，. （1）求； （2）若点M满足，求点M的坐标； （3）若，求. 14．已知点，，． （1）若D为线段的中点，求线段的长； （2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值． 15．已知空间中三点，，，设，. （1）求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若与互相垂直，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 第三讲 【例题】 例1．(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 例2．(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)． 例3．＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)． 例4．a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 例5．(1) D；(2)λ＝－4． 例6．(1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. 例7．(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3)　 例8．(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)， (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点， 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)． 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)． 例9．120° 例10．如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz. 依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)， N(1,0,1)，M， ∴＝，＝(1,0，－1)， ＝(1，－1,1)， ∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0， ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN． 【练习】 1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．A 7．ACD 8．BD 9． 10． 11． 12． 13．（1），，；（2）；（3）16． 14．（1）；（2）． 15．（1）；（2）或． $$