第02讲 空间向量基本定理（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第02讲 空间向量基本定理 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 空间向量基本定理 空间向量基本定理 基底的判断 空间向量的正交分解 空间向量的分解 用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量 空间向量的运算 二.学法指导 1．基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2．基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 三.知识点贯通 知识点1 基底的判断 {a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 例题1.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 知识点2 用基底表示向量 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 例题2：如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，. 知识点3 正交分解在立体几何中的应用 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 例题3 .如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值． 知识点4 易错点分析 易错一 空间向量的基底 例题4.设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b，构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a或b 误区警示 能否作为空间向量的基底，应判断向量是否共面。 知识点5 核心素养聚焦 考点一 逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量 例题5.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 考点二 数学抽象-向量的表示 例题6点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，，　 B．，－， C．－，，－ D．－，－， 【练习】 一、选择题 1．若是三个非零向量；为空间的一个基底，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．是空间的一个基底，向量，，，.若，则，，分别为（ ）. A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 4．在下列结论中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得. 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．三棱柱中,是的中点,若，，,则（ ） A． B． C． D． 6．已知空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若=2,则下列结论正确的是(　　) A．+2-2 B．=-2+3 C．=2-3 D．=2-2 7．（多选题）在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 二、填空题 9．在平行六面体中，若，则__________. 10．如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则__________． 11．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，用，，表示，则________. 12．已知空间的个基底，若，共线，则________，________. 3、 解答题 13．已知平面，四边形为正方形，G为的重心，，试用基底表示. 14．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，求证：E，F，B，D四点共面． 15．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 第二讲 【例题】 例1．C 例2．连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＝＝a. 例3．异面直线BD1和AC所成角的余弦值为. 例4．C　 例5．假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3 ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数x，y使得＝x＋y， 所以，，不共面． 所以{，，}能作为空间的一个基底． 例6．D 【练习】 1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．D 7．ABD 8．ABC 9． 10． 11． 12．1 13．；；. 14．设， 则，， 所以， 而E，F，B，D四点不共线， 因此，故E，F，B，D四点共面． 15．（1）；（2）. $$